球面上のデザイン、距離集合とアソシエーションスキームの研究

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本年の研究は主に次の三つである。(1)複素球面デザインの研究、(2)多重交差族の研究、(3)距離集合のサイズに関する不等式の改善。(1)主な研究対象であった、実球面上のデザインにならって複素球面上でのデザインの研究を行った。この空間ではこれまでデザインが定義されてきたランク1のコンパクト対称空間ではないものの、これまでに使われてきた線形計画法が働き、またアソシエーションスキームとも非常に関連性が強いことが分かった。対称なアソシエーションスキームに対しては実球面への埋め込みが非常に重要な役割を果たしたのと同様、今回の研究で非対称なアソシエーションスキームに対しては複素球面への埋め込みがやはり重要な研究手段になりうるといえる。これはAidan Royとの共同研究に基づくものである。(2)極値集合論において、古くから研究されている交差集合の問題の多くは自然にQ-多項式距離正則グラフという特別なアソシエーションスキームのクラスにおいて考えることが出来、実際数多くの研究がその枠組みでなされている。今回はその問題の一般化である多重交差族に対して、同じ枠組みであるQ-多項式距離正則グラフにおいて考察した。その結果、重要な様々なクラスにおいて多重交差族のサイズの不等式を得ることに成功し、特にtwisted Grassmann graphに対しては真に新しい結果を得ることが出来た。これは田中太初氏との共同研究に基づくものである(3)距離集合の最も重要な問題は現れる距離の個数を固定したとき、距離集合のサイズの上からの不等式を得ることである。s-距離集合のabosolute boundを達成する例については2s-デザインになることが示されている。ここではデザインの強さが2s-2以下であるs-距離集合のサイズの上からの不等式を改善した。次数sが低いところでは幾つかの例も知られている。これは野崎寛氏との共同研究に基づくものである