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The development and fusion on the geometry of submanifolds and theory for eigenvalues of the differential operators in Riemannian manifolds

子流形几何与黎曼流形微分算子特征值理论的发展与融合

基本信息

批准号：
20540082
负责人：
CHENG Qing-Ming
金额：
$ 2.83万
依托单位：
Saga University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2008
资助国家：
日本
起止时间：
2008 至 2010
项目状态：
已结题

项目摘要

In this project, by making use of fusion on the research methods in the geometry of submanifolds and the research methods for eigenvalues of the differential operators on bounded domains in Riemannian manifolds, we can construct trial functions with good properties such that we obtain a sharp universal inequalityfor eigenvalues of the Dirichlet eigenvalue problem of the Laplacian on bounded domainsin Riemannian manifolds and a universal inequality for eigenvalues of the clamped plate problem. Furthermore, by combining the universal inequality for eigenvalues with therecursion formula of Cheng and Yang, we give the upper bounds for the k-th eigenvalueof the Dirichlet eigenvalue problem of the Laplacian on bounded domains in Riemannian manifolds. It is optimal in the sense of the order of k. By using a new and original method replacing the method of the Fourier transform, we obtain a Li-Yau type lower bound for eigenvalues of the Dirichlet eigenvalue problem of the Laplacian on bounded domains in Riemannian manifolds. About the study on lower bounds for eigenvalues of the clamped plate problem on bounded domains in a Euclidean space, we improve the inequality of Levine and Protter by using the Fourier transform and the symmetry rearrangement of a domain. On the other hand, we study structures of curvatures and topological structures of submanifolds according to several different view points. An optimal upper bound for the first eigenvalue of Jacobi operator of compact hypersurfaces with constant scalar curvature in the unit sphere is given. Many embedded compact hypersurfaces with constantk-th mean curvature in the unit sphere are constructed.

本课题利用子流形几何的研究方法与黎曼流形中有界域上微分算子特征值的研究方法的融合，我们可以构造具有良好性质的试探函数，从而得到黎曼流形中有界区域上Laplacian的Dirichlet特征值问题的特征值的一个尖锐的普适不等式，以及特征值的一个普适不等式固支板的问题。进一步，将特征值的普遍不等式与Cheng和Yang的递推公式相结合，给出了黎曼流形中有界区域上Laplacian的Dirichlet特征值问题的第k个特征值的上界.它在k阶意义下是最优的。用一种新颖的方法代替Fourier变换，得到了黎曼流形中有界区域上Laplacian算子Dirichlet特征值问题的Li-Yau型特征值下界.关于欧氏空间中有界区域上固支板问题特征值下界的研究，利用Fourier变换和区域的对称重排改进了Levine和Protter不等式.另一方面，从不同的角度研究了子流形的曲率结构和拓扑结构。给出了单位球面上常数量曲率紧致超曲面Jacobi算子第一特征值的一个最优上界。构造了单位球面中具有常数k次平均曲率的嵌入紧致超曲面。

项目成果

期刊论文数量（0）

专著数量（0）

科研奖励数量（0）

会议论文数量（0）

专利数量（0）

Estimates for lower order eigenvalues of a clamped plate problem

DOI：
10.1007/s00526-009-0292-8
发表时间：
2009-06
期刊：
Calculus of Variations and Partial Differential Equations
影响因子：
2.1
作者：
Q. Cheng;Guangyue Huang;G. Wei
通讯作者：
Q. Cheng;Guangyue Huang;G. Wei

An example of Jacobian variety and its applications to minimal surfaces

雅可比行列式的一个例子及其在最小曲面上的应用

DOI：
发表时间：
2009
期刊：
Differential Results in Mathematics 56
影响因子：
0
作者：
新関伸也;谷口正信;T.Shoda
通讯作者：
T.Shoda

Estimates for eigenvalues on Riemannian manifolds

DOI：
10.1016/j.jde.2009.07.015
发表时间：
2009-10
期刊：
Journal of Differential Equations
影响因子：
2.4
作者：
Q. Cheng;Hongcang Yang
通讯作者：
Q. Cheng;Hongcang Yang

線形代数学大全第1部とことんわかる線形代数学の基礎理論

线性代数百科全书第1部分：彻底理解线性代数基础理论

DOI：
发表时间：
2008
期刊：
影响因子：
0
作者：
Rafael Herrera;Yasuyuki Nagatomo;Qing-Ming Cheng;Qing-Ming Cheng;長友康行;長友康行;Yasuyuki Nagatomo;成慶明;Qing-Ming Cheng;長友康行;石川晋
通讯作者：
石川晋

Extrinsic estimates for eigenvalues of the Laplace operator