力学系における微分ガロア理論の新展開

前年度に引き続き,幾何学的および代数学的アプローチを用いて,微分ガロア理論の力学系に対する応用について理論的研究を行った.まず,可逆的な常微分方程式系において,ホモクリニック軌道のサドル・ノードおよびピッチフォーク分岐がある非退化条件の下で起こるとき,ホモクリニック軌道の変分方程式が微分ガロア理論の意味で可積分となることを証明した.次に,前年度に得られたストゥルム・リウビル問題に対する結果を一般化し,アレン・カーン方程式と呼ばれる偏微分方程式の進行フロント解の線形安定性を解析し,これまでに知られていなかった固有値が求められた.また,これら2つの理論結果に対して具体的な適用例を示し,さらに数値計算結果と比較し検討するなどして,それらの有効性を明らかにし,微分ガロア理論を用いた,常微分方程式のホモ/ヘテロクリニック軌道に対する新しい分岐解析手法を確立した.偏微分方程式のソリトン,パルスおよびフロント解が,常微分方程式のホモ/ヘテロクリニック軌道で表わされる多くの場合があり,得られた結果はこれらの解の分岐や線形安定性に直接応用することが可能で,非線形偏微分方程式の分野においても非常に重要である.さらに,不変多様体を有するハミルトン系に対して,微分ガロア理論により可積分性を解析するMorales-Ramis理論の拡張とそのカオス現象との関連性について論じた.本研究により,力学系にとどまらずより広い数学および応用科学の分野における微分ガロア理論の有用性がさらに高められた.

前年度に引き続き,幾何学的および代数学的アプローチを用いて,微分ガロア理論の力学系に対する応用について理論的研究を行った.まず,可逆的な常微分方程式系において,ホモクリニック軌道のサドル・ノードおよびピッチフォーク分岐がある非退化条件の下で起こるとき,ホモクリニック軌道の変分方程式が微分ガロア理論の意味で可積分となることを証明した.次に,前年度に得られたストゥルム・リウビル問題に対する結果を一般化し,アレン・カーン方程式と呼ばれる偏微分方程式の進行フロント解の線形安定性を解析し,これまでに知られていなかった固有値が求められた.また,これら2つの理論結果に対して具体的な適用例を示し,さらに数値計算結果と比較し検討するなどして,それらの有効性を明らかにし,微分ガロア理論を用いた,常微分方程式のホモ/ヘテロクリニック軌道に対する新しい分岐解析手法を確立した.偏微分方程式のソリトン,パルスおよびフロント解が,常微分方程式のホモ/ヘテロクリニック軌道で表わされる多くの場合があり,得られた結果はこれらの解の分岐や線形安定性に直接応用することが可能で,非線形偏微分方程式の分野においても非常に重要である.さらに,不変多様体を有するハミルトン系に対して,微分ガロア理論により可積分性を解析するMorales-Ramis理論の拡張とそのカオス現象との関連性について論じた.本研究により,力学系にとどまらずより広い数学および応用科学の分野における微分ガロア理論の有用性がさらに高められた.