無限グラフのハミルトン閉路とt-理想グラフ

本研究は無限グラフのハミルトン閉路とt-理想グラフを研究対象とした。t-理想グラフに関しては、比較的良い性質を持つクローフリーグラフのクラスに限定して研究を進めた。t-理想グラフに関する性質の多くは誘導路とよばれる構造と深く関係する。またハミルトン閉路に関する多くの問題では、グラフの切断集合が様々な必要条件を与える。そこでクローフリーグラフの誘導路と切断集合の関係を調べることが自然な流れとなった。前年度の研究では、クローフリーグラフの2頂点を結ぶ誘導路の本数を、クリーク切断集合の言葉で記述することに成功した。そこで今年度は互いに素な2つの頂点集合間の誘導路の本数を考えた。前年度の研究は2つの集合がともに位数1である場合に相当するので、本年度の研究はその拡張にあたる。一方2つの頂点集合が与えられたとき、それらをそれぞれ1頂点に縮約すると、前年度の研究成果が適用できる可能性が生じる。ただし初めのグラフがクローフリーグラフであっても、頂点を縮約することにより得られるグラフはクローフリーグラフであるとは限らない。ここに大きな困難があった。そこで我々はまず、前年度の研究成果をクローフリーグラフよりも大きいクラスに拡張することから始めた。具体的には、対象となる2頂点がクローの中心となっていても、そのクローフリー条件の欠如を補う条件を導入することで、前年度と同じ帰結を得ることに成功した。この新しい結果はクローフリーグラフの2つの頂点集合を縮約したグラフに適用できることが判明し、これを用いて2つの集合間を結ぶ誘導路の本数をクリーク切断集合の言葉で記述することに成功した。

本研究は無限グラフのハミルトン閉路とt-理想グラフを研究対象とした。t-理想グラフに関しては、比較的良い性質を持つクローフリーグラフのクラスに限定して研究を進めた。t-理想グラフに関する性質の多くは誘導路とよばれる構造と深く関係する。またハミルトン閉路に関する多くの問題では、グラフの切断集合が様々な必要条件を与える。そこでクローフリーグラフの誘導路と切断集合の関係を調べることが自然な流れとなった。前年度の研究では、クローフリーグラフの2頂点を結ぶ誘導路の本数を、クリーク切断集合の言葉で記述することに成功した。そこで今年度は互いに素な2つの頂点集合間の誘導路の本数を考えた。前年度の研究は2つの集合がともに位数1である場合に相当するので、本年度の研究はその拡張にあたる。一方2つの頂点集合が与えられたとき、それらをそれぞれ1頂点に縮約すると、前年度の研究成果が適用できる可能性が生じる。ただし初めのグラフがクローフリーグラフであっても、頂点を縮約することにより得られるグラフはクローフリーグラフであるとは限らない。ここに大きな困難があった。そこで我々はまず、前年度の研究成果をクローフリーグラフよりも大きいクラスに拡張することから始めた。具体的には、対象となる2頂点がクローの中心となっていても、そのクローフリー条件の欠如を補う条件を導入することで、前年度と同じ帰結を得ることに成功した。この新しい結果はクローフリーグラフの2つの頂点集合を縮約したグラフに適用できることが判明し、これを用いて2つの集合間を結ぶ誘導路の本数をクリーク切断集合の言葉で記述することに成功した。