ヘッケ理論のq類似の構築

本研究の目的は、(1)『"一つのqに対して閉じた"ヘッケ理論のq類似の構築』及び(2)『完備リーマンゼータ関数のq類似(通称:qゼータ関数)の零点・特殊値に関する研究』である。(1)は、保型形式のqメリン変換像を決定すること、即ち、いわゆる逆定理のq類似を"qを固定する毎に"得ることが課題である。この度、qメリン変換の1-パラメータ変形を導入し、それにより、(以前はqを固定出来ていなかったが)qを任意に一つ固定した状態で逆定理を示すことが出来た。特に、元のヘッケ理論の復元操作を意味する"古典極限q→1"を扱える形となり、ヘッケ理論を真に拡張した理論としての"qヘッケ理論"を実現することが出来た。また、上記1-パラメータ変形の導入をきっかけに、古典的なガンマ関数のq類似を(qメリンの観点から)導入し、その基本的性質を示すと共に、幾つかのq級数に取り込まれているqガンマ因子の検出を行った。特に、本年度の研究実施計画の一つであった"qゼータ関数に取り込まれているqガンマ因子の検出"も行えた。次に、(2)に関連し、当qゼータ関数を少し変形した新たな"良い"qゼータ関数(以下、Z(s)と記すことにする)を考え、Z(s)の零点に関する研究を行ったところ、Z(s)の絶対値を下から直接評価することにより、幾つかのqに対して非零領域を見積もることが出来た。また、より詳しく、任意のqに対してZ(s)の非零領域を見積もるために数値計算を行った。特に、sが臨界領域に属する場合には、ある予想を立てたと共にリーマン予想と同値な命題を与えた。更に、Z(s)を一般化すべく、(完備)ディリクレL関数のq類似を導入し、基本的性質を示した上で、これについても同様の数値計算を行った。その結果、ある特別な場合に、一般リーマン予想を肯定的に受け入れるような予想を得た。

本研究の目的は、(1)『"一つのqに対して閉じた"ヘッケ理論のq類似の構築』及び(2)『完備リーマンゼータ関数のq類似(通称:qゼータ関数)の零点・特殊値に関する研究』である。(1)は、保型形式のqメリン変換像を決定すること、即ち、いわゆる逆定理のq類似を"qを固定する毎に"得ることが課題である。この度、qメリン変換の1-パラメータ変形を導入し、それにより、(以前はqを固定出来ていなかったが)qを任意に一つ固定した状態で逆定理を示すことが出来た。特に、元のヘッケ理論の復元操作を意味する"古典極限q→1"を扱える形となり、ヘッケ理論を真に拡張した理論としての"qヘッケ理論"を実現することが出来た。また、上記1-パラメータ変形の導入をきっかけに、古典的なガンマ関数のq類似を(qメリンの観点から)導入し、その基本的性質を示すと共に、幾つかのq級数に取り込まれているqガンマ因子の検出を行った。特に、本年度の研究実施計画の一つであった"qゼータ関数に取り込まれているqガンマ因子の検出"も行えた。次に、(2)に関連し、当qゼータ関数を少し変形した新たな"良い"qゼータ関数(以下、Z(s)と記すことにする)を考え、Z(s)の零点に関する研究を行ったところ、Z(s)の絶対値を下から直接評価することにより、幾つかのqに対して非零領域を見積もることが出来た。また、より詳しく、任意のqに対してZ(s)の非零領域を見積もるために数値計算を行った。特に、sが臨界領域に属する場合には、ある予想を立てたと共にリーマン予想と同値な命題を与えた。更に、Z(s)を一般化すべく、(完備)ディリクレL関数のq類似を導入し、基本的性質を示した上で、これについても同様の数値計算を行った。その結果、ある特別な場合に、一般リーマン予想を肯定的に受け入れるような予想を得た。