特異性をもつ非線形境界値問題の高次精度数値解法とその数値解析に関する研究

1.特異性の解を持つディリクレー境界値問題の数値解法に関する研究研究代表者は特異性の解を持つ円盤上のディリクレー境界値問題を考察した。円盤の境界において、真の解の微分は発散する特異性があり、4階までの微分の発散度はパラメータσのある条件を満たすとする。この問題に対して、極座標でr方向にはパラメータpをもつ伸長関数を使うことによって非一様な空間分割を構成し、θ方向には等分割を構成した。この非一様な空間分割におけるSwartztrauber-Sweetスキームは非整合性を持つ。つまり、境界に近い格子点において、差分スキームの打ち切り誤差は無限大に発散する。通常の誤差解析によると近似解の誤差も発散するが、行列解析学のアプローチを用いて、近似解の収束性を示した。さらに、パラメータpを選ぶことによって収束を加速することもできる。このような数値スキームが非整合であるにもかかわらず、収束性とパラメータによって加速される特性をもっている。なぜいい性質が示されるかについても研究を行った。数値例によって条件数の再定義により離散システムは通常思われていたほど悪い条件ではないことがわかった。研究成果は一部分が論文としてまとめられ、Proceedings of Third International Conference on Boundary Value Problems, Integral Equations and Related Problemsに発表された。2.有理型関数の一意性理論に関する研究Nevanlinna理論において、Nevanlinna5点定理とNevanlinna4点定理の条件を弱めることができるのだろうか。どのような弱い条件のもとで一意性が成り立つか。又、別の条件で一意性を決めることができるか。数十年来、このような問題に対して、各国の数学者から様々な研究がなされて、種々の一意性定理が生まれた。研究代表者は共有の値または小関数に関連する有理型関数の一意性理論について、一般の形の整関数と有理型関数及びその微分多項式が共有の小関数をもつ場合を研究し、一意性定理を示した。研究成果は論文としてまとめられ、Acta Mathematica Scientiaに発表された。

1.特異性の解を持つディリクレー境界値問題の数値解法に関する研究研究代表者は特異性の解を持つ円盤上のディリクレー境界値問題を考察した。円盤の境界において、真の解の微分は発散する特異性があり、4階までの微分の発散度はパラメータσのある条件を満たすとする。この問題に対して、極座標でr方向にはパラメータpをもつ伸長関数を使うことによって非一様な空間分割を構成し、θ方向には等分割を構成した。この非一様な空間分割におけるSwartztrauber-Sweetスキームは非整合性を持つ。つまり、境界に近い格子点において、差分スキームの打ち切り誤差は無限大に発散する。通常の誤差解析によると近似解の誤差も発散するが、行列解析学のアプローチを用いて、近似解の収束性を示した。さらに、パラメータpを選ぶことによって収束を加速することもできる。このような数値スキームが非整合であるにもかかわらず、収束性とパラメータによって加速される特性をもっている。なぜいい性質が示されるかについても研究を行った。数値例によって条件数の再定義により離散システムは通常思われていたほど悪い条件ではないことがわかった。研究成果は一部分が論文としてまとめられ、Proceedings of Third International Conference on Boundary Value Problems, Integral Equations and Related Problemsに発表された。2.有理型関数の一意性理論に関する研究Nevanlinna理論において、Nevanlinna5点定理とNevanlinna4点定理の条件を弱めることができるのだろうか。どのような弱い条件のもとで一意性が成り立つか。又、別の条件で一意性を決めることができるか。数十年来、このような問題に対して、各国の数学者から様々な研究がなされて、種々の一意性定理が生まれた。研究代表者は共有の値または小関数に関連する有理型関数の一意性理論について、一般の形の整関数と有理型関数及びその微分多項式が共有の小関数をもつ場合を研究し、一意性定理を示した。研究成果は論文としてまとめられ、Acta Mathematica Scientiaに発表された。