数論的力学系から派生するGalois表現

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本年度は以下の二つの課題について取り組み、研究成果を論文として発表した。1. 2進体上の超幾何級数と算術幾何平均. p-進数体上のGaussの超幾何級数は,Dworkによって単位円盤から超特異円盤を除いたところまで解析接続され,その解析接続された関数は標数pの有限体上の通常楕円曲線の単位根を値にもつような関数になることが知れている.Dworkの研究では,標数が奇素数pの有限体上の通常楕円曲線のLegendre族のコホモロジーが考察されているが,標数がp=2の場合の議論は与えられていない.我々の研究の主題は,Dworkの結果のp=2での類似の考察である.この場合には,通常楕円曲線の族として「y^2+xy=x^3+μ」というものを採用し,これによって超幾何級数_2F_1(5/6,7/6;2;-432x)に対し,Dworkの結果の類似を与えた.また2-進算術幾何平均と超幾何級数の結びつきを与えた.2. p-進佐藤理論とその数論幾何への応用. Xを標数0の体K上の滑らかな射影かつ連結な種数2以上の曲線とし,JをXのJacobian多様体,ZをJの閉部分多様体とする.このときZ上のtorsionは,Raynaudの定理(の特別な場合)によって,Z=XまたはJがabsolutely simpleの場合において有限集合になる.この有限集合を具体的に決定するという問題が考えられる.曲線上のtorsionに関する研究はこれまでのところ数多くあるが,一方でAndersonは,Z=ΘがJのテータ因子である場合を考察した.彼はXが素数次Fermat曲線の巡回商であるとき,ある位数のtorsionがΘ上に存在しないことを示した.その証明には,p-進タウ関数が用いられる.古典的には,タウ関数はKP方程式などの完全可積分方程式の(複素解析的な)解を記述する関数であり,「佐藤理論」において中心的な役割を成す関数である.本研究では,Andersonの手法を用いることで,超楕円曲線のJacobian多様体のテータ因子に対し,Andersonと同様の主張を与えた.