測度距離空間の幾何解析と最適輸送問題

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本研究では次の二つの結果を得た。ひとつは、サブリーマン多様体の部分束がきれいにねじれている条件の下で、チーガーとグロモールの分裂定理の類推が等長同型よりも弱い、無限小リプシッツ微分同相としても成り立たない、というものである。二つの距離空間XとYの間の無限小リプシッツ微分同相写像とは、XとYのそれぞれの距離関数について、Xの各点で無限小の意味でのリプシッツ定数が有限になるような写像のことである。この結果から、無限小リプシッツ微分同相が距離空間の直積X×Rの構造と、きれいにねじれたMの距離構造とを区別できることがわかった。もうひとつの結果を述べる。サブリーマン多様体Mはあるリー群Gが作用する主G束の全体空間であり、部分束はその上の水平分布として与えられているとする。さらにM上のあるリーマン計量を通して、サブリーマン計量がリー群Gの作用と適合しているとする。H内のほとんどすべての点を、Mの固定された任意の点に、最短線に沿って動かす写像を収縮写像という。本研究では、この条件の下でサブリーマン多様体の指数写像を、リー群Gの指数写像とリーマン多様体の指数写像を使って表し、収縮写像のヤコビアンをリーマン多様体のヤコビ場で表し、ヤコビアンの最短線に沿う微分を計算した。サブリーマン多様体の最短線に沿う微分を、リー群の測地線の作用に沿う方向と、リーマン多様体の測地線に沿う方向とに分けて計算した結果、リーマン多様体やリー群の曲率では制御できない項が現れた。以上二つの結果はサブリーマン多様体特有のねじれた距離構造に由来するものであり、曲率の概念とは微妙に異ったものであることがわかった。