離散型線形悪条件問題に対するAugmented Krylov部分空間法の研究

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本研究は,離散型線形悪条件問題に対するKrylov部分空間法を完成させることを目的とする.離散型線形悪条件問題とは,逆問題で生じる線形な数学モデルを離散化した連立1次方程式である.医用CT画像や衛星画像の復元,非破壊検査等の重要かつ幅広い応用分野があり,研究の意義は深い。本研究では,数値解法に注目して離散型線形悪条件問題の非適切性に対処するための正則化を考える.具体的にはKrylov部分空間法に分類される各種方に対して汎用性のある改良手法の開発を目指す.今年度は,「離散型線形悪条件問題に関連した数学的性質の確認」,「応用的な問題における実践的な解法の開発」の2点に着目して研究を行った.1点目については各種文献を参考に悪条件問題一般の数学的性質をまとめ,これまでの研究内容と照らし合わせる事でKrylov部分空間との関係性について検討を行った.その結果,初年度の成果であるSimplified Tikhonov値の性能を高める改良法を考案し,その成果は査読付き国内論文誌に掲載された.2点目に関しては,デンマークにおいて共同研究を行った.研究対象は,行列情報をオペレータとして保持する偏微分方程式から生じる離散型線形悪条件問題に対するGMRES法を用いた正則化と反復終了条件とした.Hansen教授の離散型線形悪条件問題に関する経験的な示唆を仰ぎ,特別研究員のこれまでの成果をどう実践的に適用するかについて検討を重ねた.その結果,1次元の移流拡散問題,2次元の熱方程式から導かれる離散型線形悪条件問題に対してRRGMRES法が有効であること,空間付加を行う場合には境界条件に注目すべきこと,Simplified Tikhonov値が安定的に有効であることを確認した.これらの成果について,国際会議口頭発表を1回行った.