悪条件問題に対する直接解法を用いた高速な正則化手法の開発

使用直接求解方法开发病态问题的快速正则化方法

基本信息

批准号：
11750061
负责人：
細田陽介
金额：
$ 0.58万
依托单位：
University of Fukui
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1999
资助国家：
日本
起止时间：
1999 至 2000
项目状态：
已结题

项目摘要

悪条件問題は主に画像復元問題などの逆問題を数値的に解くときに現れる。通常、悪条件線形方程式はその係数行列に特異値分解を施し、Tikhonovに代表される正則化手法を適用することにより数値的に安定化して解かれる。しかし、行列の特異値分解は行列の固有値問題として得られるので計算量が多く、問題が大規模になるとその分解を求めることが困難となる。これは行列の固有値は一般には有限回の演算すなわち直接法では求めることができず、反復計算が必要なことに起因する。これに対して我々は直接解法のみを用いた正則化手法を開発した。本方法は直交変換と悪条件ではない上三角行列による逆変換のみで計算可能なため、特異値分解やTikhonovの正則化法同様数値的に安定であり、なおかつ既存の正則化法と同様に最小二乗最小ノルム解に収束することを数学的に示すことができる。また、既存の正則化法に比べ高速に計算できることも数値実験により確かめられた。今年度は我々の開発した方法をより実際的な問題に適用し、その有効性を検証した。小型トカマクによるプラズマの閉じ込めを想定した画像復元問題においては、既存の方法よりも高速に同程度の品質の解が得られることを確認した。また、実際に正則化法を適用するときに問題となる最適な正則化パラメータの推定法としては既存の方法と同様にGCV最小化基準法が適用可能であることを示し、数値実験によりその有効性を検証した。この基準法を適用した場合の計算量の増加は既存の正則化法と同様であり、これにより高速化が損なわれることは無い。以上の結果を8月9日〜12日にスウェーデンのルンドで開催されたInternational Conference on NUMERICAL MATHEMATICS on the 40^<th> Anniversary of the Journal BITの国際研究集会で発表し、国際的な評価を得られることができた。

不良状况问题主要出现在数值解决诸如图像恢复问题之类的反问题时。通常，通过应用正规化技术（例如Tikhonov），通过数值稳定系数矩阵来解决条件差的线性方程。但是，可以作为矩阵特征值问题获得矩阵的单数值分解，因此有大量的计算，当问题达到大规模时，很难找到分解。这是因为矩阵的特征值无法在有限的操作（即直接，迭代计算）中确定。作为响应，我们仅使用直接解决方案开发了一种正则化方法。由于可以仅使用不利条件的上三角矩阵使用正交转换和逆变换来计算此方法，因此可以在数学上表明它在数值上是稳定的，就像奇异值分解和Tikhonov的正则化方法一样，并像最小二乘最小的常规化方法一样，将其收敛。此外，数值实验还证实，计算可以比现有正则化方法更快地执行。今年，我们将开发的方法应用于更实际的问题并测试了它们的有效性。在假定小托卡马克（Tokamak）等离子体限制的图像恢复问题中，可以证实，与现有方法相比，可以更快地获得质量的解决方案。此外，已经表明，GCV最小化标准方法可以作为一种估计最佳正则化参数的方法，在实践中应用正则化方法时，这是一个问题，并且通过数值实验验证了其有效性。应用此标准方法时，计算量的增加与现有的正则化方法相同，这不会损害加速。上述结果是在8月9日至12日在瑞典隆德举行的40周年纪念日的国际数学数学会议上提出的，并能够获得国际认可。