悪条件問題に対する直接解法を用いた高速な正則化手法の開発

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悪条件問題は主に画像復元問題などの逆問題を数値的に解くときに現れる。通常、悪条件線形方程式はその係数行列に特異値分解を施し、Tikhonovに代表される正則化手法を適用することにより数値的に安定化して解かれる。しかし、行列の特異値分解は行列の固有値問題として得られるので計算量が多く、問題が大規模になるとその分解を求めることが困難となる。これは行列の固有値は一般には有限回の演算すなわち直接法では求めることができず、反復計算が必要なことに起因する。これに対して我々は直接解法のみを用いた正則化手法を開発した。本方法は直交変換と悪条件ではない上三角行列による逆変換のみで計算可能なため、特異値分解やTikhonovの正則化法同様数値的に安定であり、なおかつ既存の正則化法と同様に最小二乗最小ノルム解に収束することを数学的に示すことができる。また、既存の正則化法に比べ高速に計算できることも数値実験により確かめられた。今年度は我々の開発した方法をより実際的な問題に適用し、その有効性を検証した。小型トカマクによるプラズマの閉じ込めを想定した画像復元問題においては、既存の方法よりも高速に同程度の品質の解が得られることを確認した。また、実際に正則化法を適用するときに問題となる最適な正則化パラメータの推定法としては既存の方法と同様にGCV最小化基準法が適用可能であることを示し、数値実験によりその有効性を検証した。この基準法を適用した場合の計算量の増加は既存の正則化法と同様であり、これにより高速化が損なわれることは無い。以上の結果を8月9日〜12日にスウェーデンのルンドで開催されたInternational Conference on NUMERICAL MATHEMATICS on the 40^<th> Anniversary of the Journal BITの国際研究集会で発表し、国際的な評価を得られることができた。