Lie群の放物的作用の剛性

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可解Lie群Gの閉多様体Mへの局所自由作用ρがあるとする。ρの軌道葉層をFとし、VをGのLie環gの表現とすると、葉層コホモロジーH^*(F ; V)が定まる。以前予想していたことは、適当なVに対してH^1 (F ; V)が消滅しているならば、ρはパラメータ剛性をもつということである。Gが可解より狭くべき零であるならば、H^1 (F ; R)の消滅とρのパラメータ剛性は同値であった。上の予想はその一般化として考えたものである。これについて次のことを示した。Xという(具体的に書ける)非可算集合とXの各元φに対して(具体的に書ける)gの表現V(φ)が存在して、すべてのφに対してH^1 (F ; V(φ))が消滅していれば、ρはパラメータ剛性をもつ。つまり非可算個の係数に対するコホモロジーの消滅があればパラメータ剛性がでるということである。しかし実用上、非可算個のコホモロジーの消滅を示すのは難しい場合があるので、上の定理の仮定をX全体からXのより小さい部分集合、できれば有限部分集合まで弱めることができるとよい。それを行うために一見関係のない1arge scale geometryが役に立つことを見いだした。large scale geometryは距離空間の幾何学で、距離を粗くみるというものである。上の定理の結論を得るために必要なφに対してはあるlarge scale geometryからの制限がかかることが分かる。その制限からFarbとMosherによるある定理により、φが非常に限られたものにならざるを得ないことが従う。このようにして定理の仮定としては有限個のφに対するコホモロジーの消滅があればよいことが示される。ただしこの議論は今のところ特別なGに対してしかできていない。しかしかなり一般なGに対してうまくいくだろうと予想している。そのためにはFarbとMosherの定理を一般化する必要がある。このような方法を用いて新しく、可解Lie群のパラメータ剛性をもつ作用をつくることができる。それは松元と三松による作用の一般化であるが、上のような方法により本質的に一般化される。