高次元Qファノ多様体と有理連結多様体の双有理幾何学的研究

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本年度は、高次元Qファノ多様体を対象として、双有理剛性に関わる問題を中心に研究を行った。双有理剛性はIskovskikh-Maninにより3次元4次超曲面の非有理性を示す際に導入された概念で、その後も極小モデル理論の進展と相まって進展を続けている。双有理超剛性を有するファノ多様体の安定性に関する研究を尾高氏と共同で行った。結果としては、双有理超剛性を有するファノ多様体は、ごく弱い付加条件の下にスロープ安定である、ということを示した。代数多様体のスロープ安定性は、ベクトル束のスロープ安定性の類似として導入された概念である。双有理(超)剛性と(スロープ)安定性という出自からして全く異なる二つの間に関連性を見いだすことに成功した。脱安定化部分スキームが、双有理剛性における極大特異点に対応するという見通しのよい証明が与えられた。スロープ安定性よりも強いK安定性を示すことがより重要な問題として残っている。ファノ多様体のK安定性は、ケーラー・アインシュタイン計量の存在と密接に関係しているため、非常に興味深い問題である。上記のものと平行して、3次元Qファノ重み付き完全交叉の森ファイバー構造を決定する研究を行った。Corti-Pukhlikov-Reidによって3次元Qファノ重み付き超曲面は全て双有理剛性を有することが示されている。一方で、余次元2の3次元Qファノ重み付き完全交叉の多くは双有理剛性を有しないことがわかる。現段階において、それらのうちで双有理剛性を有するものを決定し、有しないもののうちの多くの対象についてその森ファイバー構造を決定することに成功している。