高階算術における逆数学

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本年の研究は前年に引き続き、種々の数学的対象をいかに高階算術体系において形式化するのが妥当であるか、という問題に関連する考察を行なった。二階算術の場合とは大きく異なり、高階算術体系においては数学的概念をどのように形式化するかによって逆数学的な結果も全く異なる場合があることがこれまでの研究で明らかにされている。特にコーレンバッハ流の高階算術では写像を定義域から値域への矢印で表されるタイプの対象として表すか、定義城と値域から自然数へのタイプの対象として、そのグラフによって表すかという、最も単純なものでも二つの方法があり、それぞれで結果が変わる場合が多い。表現の仕方による結果の違いに対して何らかの系統的な理解の仕方を得ることを目的としていたが、現時点では全く不明である。一方で双対をとる操作は数学の様々な揚面で現れる。それは素朴に考えればタイプが一つ高いランクになるのであるが、双対の双対が元のものと一致するという現象はベクトル空間をはじめとして主に抽象代数学の分野で多く現れる。これは素朴に考えたときには異なるタイプに属する対象を"同じタイプの対象とみなす"ことが根底にある現象であり、形式化の方法の問題と密接に関連する。有限な対象の場合にもそのような現象は全く同じように存在し、かつ数学において無限の対象の場合と変わらぬ重要性を持つ。そのような対象・現象を逆数学的に考察するには限定算術において有限構造の双対を取り扱うのが適当であろうと思われる。限定算術体系は高階算術のようにタイプが無数には別れておらず、タイプに依らない取り扱いができることが期待される。