同変シンプレクティック幾何学およびトーラス同変コホモロジーの研究

本研究は以下の2つの研究課題,課題(a)シンプレクティック幾何における運動量写像の凸性定理の拡張の研究,課題(b)グラスマン多様体の変種についてのシューベルトカルキュラスの研究,から成る.まず、課題(a)については、昨年度すでに論文としてまとまった形で雑誌に投稿中であり、雑誌からの返事で要求された修正を行い、修正版を投稿中である。本年度は課題(b)の研究を精力的に行った。この研究は韓国KAISTの松村朝雄氏との共同研究である。昨年度の研究によって、重み付きグラスマンのコホモロジー環において重み付きのシューベルト類を定義し、その構造定数を計算する公式を与えた。「研究の目的」にも記したように、本年度はシューア多項式とシューベルト類の関係を重み付きグラスマンに対して一般化することを試み、論文にまとめてpreprintを発表した。シューア多項式は対称多項式の中でも特に様々な数学に現れる対象であり、特にシューベルトカルキュラスでは、グラスマン多様体のコホモロジー環の中でシューベルト類を表す多項式として理解できる。すなわち、シューア関数はシューベルト類の親玉である。この状況を重み付きグラスマンのコホモロジー環とそのシューベルト類に対して一般化するため、我々はシューア多項式の変種を導入し、それが確かに重み付きのシューベルト類を表すことを示した。これにより、重み付きグラスマンのシューベルトカルキュラスも、このシューア関数の変種どうしの掛け算を自分自身で展開するという形で調べることが出来るようになった。これにより、シューベルトカルキュラスの問題が、コホモロジーというものを離れて単純に多項式同士の計算として理解されるので、この結果は重要である。また、この変種は本質的に、factorialシューア多項式とよばれるものを変形したものの特殊化として得ることが出来るので、factorialシューア多項式の知識をフルに活用することで、重み付きグラスマンのシューベルトカルキュラスについて様々なことが明らかになってくるであろう。

本研究は以下の2つの研究課題,課題(a)シンプレクティック幾何における運動量写像の凸性定理の拡張の研究,課題(b)グラスマン多様体の変種についてのシューベルトカルキュラスの研究,から成る.まず、課題(a)については、昨年度すでに論文としてまとまった形で雑誌に投稿中であり、雑誌からの返事で要求された修正を行い、修正版を投稿中である。本年度は課題(b)の研究を精力的に行った。この研究は韓国KAISTの松村朝雄氏との共同研究である。昨年度の研究によって、重み付きグラスマンのコホモロジー環において重み付きのシューベルト類を定義し、その構造定数を計算する公式を与えた。「研究の目的」にも記したように、本年度はシューア多項式とシューベルト類の関係を重み付きグラスマンに対して一般化することを試み、論文にまとめてpreprintを発表した。シューア多項式は対称多項式の中でも特に様々な数学に現れる対象であり、特にシューベルトカルキュラスでは、グラスマン多様体のコホモロジー環の中でシューベルト類を表す多項式として理解できる。すなわち、シューア関数はシューベルト類の親玉である。この状況を重み付きグラスマンのコホモロジー環とそのシューベルト類に対して一般化するため、我々はシューア多項式の変種を導入し、それが確かに重み付きのシューベルト類を表すことを示した。これにより、重み付きグラスマンのシューベルトカルキュラスも、このシューア関数の変種どうしの掛け算を自分自身で展開するという形で調べることが出来るようになった。これにより、シューベルトカルキュラスの問題が、コホモロジーというものを離れて単純に多項式同士の計算として理解されるので、この結果は重要である。また、この変種は本質的に、factorialシューア多項式とよばれるものを変形したものの特殊化として得ることが出来るので、factorialシューア多項式の知識をフルに活用することで、重み付きグラスマンのシューベルトカルキュラスについて様々なことが明らかになってくるであろう。