Ｈｅｓｓｅｎｂｅｒｇ多様体の幾何に現れる表現論と可積分系

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平成30年度は，Hessenberg多様体の代数幾何学的な性質について，華中科技大学の曽昊智氏と東京工業大学の藤田直樹氏と共同研究を行った．Regular semisimple Hessenberg多様体は滑らかな代数多様体であり，特別な場合として旗多様体や，ルート系に付随するトーリック多様体を実現するものである．旗多様体はファノ多様体であり，ルート系に付随するトーリック多様体は（ファノ多様体ではないが）弱ファノ多様体である．そこで，regular semisimple Hessenberg多様体がいつ弱ファノ多様体であるかという問題が自然に生じる．一般に，滑らかな代数多様体が弱ファノであるとは，その反標準因子がnefかつbigであることをいう．Hessenberg関数hから定まるregular semisimple Hessenberg多様体をX(h)と書くとき，X(h)の反標準因子がnefであるための必要十分条件はHessenberg関数hの言葉で明示的に表すことができる．反標準因子がbigであることを判定するのは一般に容易ではないが，我々は次の結果を得た．すなわち，hが狭義単調増加の場合，X(h)の反標準因子がnefならばそれはnefかつbigである（すなわちX(h)は弱ファノ多様体である）．狭義単調増加なHessenberg関数は，X(h)が旗多様体やルート系に付随するトーリック多様体になる場合を含むので，この結果は上述の事実を一般化するものである．弱ファノ多様体については，その上の豊富な直線束の高次コホモロジーが消滅しており，X(h)の幾何に様々な応用が期待される．我々は，この主張はhが狭義単調増加でなくても成り立つと予想しており，今後の課題としてより一般のケースの証明に挑んでいきたい．