概均質ベクトル空間と付随する幾何構造

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どのようなリー群上に不変平坦な射影構造とアファイン構造が存在するかについてまだ多くが未知である。代数的側面として、どのようなリー環が次元が一つ上の無限小概均質ベクトル空間を許容するかという問題が射影平坦性に関わる問題で、そして平坦なアファイン接続の存在問題はリー環が左対称代数(left symmetric algebras)の構造を持つかどうかという問題と同値である。これら幾何構造の構成について、部分多様体の観点から以下のように研究した。等質部分多様体が射影平坦になるかどうか、また射影構造を与える接続が更にアファイン平坦な接続に射影同値になるかどうかという研究は今回のものが初めてであると思われる。複素半単純リー代数のボレル部分代数上には平坦な複素アファイン構造が存在することがY. Takemoto氏、S. Yamaguchi氏により知られている。ここからすぐに実半単純リー環の岩沢分解に伴う可解部分代数S上には平坦なアファイン接続が存在することが分かる。そして放物型部分代数のLanglands分解に伴う可解部分代数上にはSから平坦なアファイン接続が誘導されることが示される。また平坦な射影構造を許容する実単純リー群のリー環はSL(n, R)とSL(n, H)のみであることが阿賀岡、浦川、Elduque氏らにより示されている。これらのリー環とその射影平坦な線形接続は任意の放物型部分代数Q上に射影平坦な接続を誘導することが分かる。そしてQ上の射影平坦な接続が平坦なアファイン接続と射影同値になるための必要十分条件が特殊線形リー環のディンキン図式のどの点を採用するかどうかという仕方で記述される。この結果をまとめた論文を執筆中である。