シンボリックリース環とコックス環の特異点論

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今年度は主に射影多様体の構造層のフロベニウス押出しの直和分解について研究した。まずアーベル多様体の場合はそのp-rankに応じて構造層のフロベニウス押出しの直和分解が起こることがわかった。これによってアーベル多様体に関しては構造層のフロベニウス押出しの直和分解はp-rankの情報を含むことがわかった。特にp-rankが最大の時、すなわちordinaryなときは構造層のフロベニウス押出しは直線束の直和に分解されるがこれは多少の仮定の下でordinaryなアーベル多様体の特徴付けを与えることもわかった。つまり小平次元が非負な滑らかな射影多様体Xに対し、その構造層のフロベニウス押出しが直線束の直和に分解するのはXがordinaryなアーベル多様体である時に限る、ということがわかった。構造層のフロベニウス押出しの直和分解はトーリック多様体の時はよく知られており、また全ての直線束のフロベニウス押出しを考えることで特徴づけを与えることも知られていたが、構造層に限って議論した時に何かしらの幾何学的な条件であるということを示したのはこの結果が初めてで、ある種新しい結果であるといえると思う。またこれ以外にも一年目に研究したdual F-signatureを複体に対して値を返す不変量に自然に拡張し、それをdualizing complexについて考えることで先の結果(F-rationalityの特徴付け)のCohen-Macauleyの条件をはずすことができた。