代数曲面上の高次K群における整数論

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もともと素体上有限生成な体上の代数多様体の高次K群における, Beilinson-Tate予想等数論的性質と, 曲面における高次K群の性質について, それらがK群のどの部分に反映されているのかを考察する研究を行っていた. 実際に行った事としては楕円曲面のNeron-Severi群, あるいはPicard群などその生成元となるサイクルの目星がある程度付く曲面に対し, その上で2次のK群に対するレギュレーター写像や境界準同型の全射性を考えることが目的であった.本年度の目的はこの手法をさらに検証しNeron-Severi群の生成元がある程度分かっている曲面でコホモロジー理論の方向からNeron-Severi群のサイクルを考察し, また1次のK-コホモロジーに, 不分解元を構成することであったが. コホモロジー理論の方向から他の曲面におけるNeron-Severi群や, Picard群のサイクルを考察する方法について, K群に関しては導来代数幾何を用いて, 完全に特徴づけが行われたので, 本年度はそちらの方面からアプローチした. 導来代数幾何は1-圏や2-圏の一般化である無限圏を用い, 高次のホモトピー論を代数的に考察する分野である. これらはJoyalによって初めて導入された. 具体的にはまず, A1-ホモトピー同値という概念をエタールトポスの入った導来スムーズスキームの圏において定式化を確立し, Quillenの代数的K理論, WeibelのホモトピーK理論エタールK理論などを比較することを考えた. Quillenの代数的K理論はQ構成から得られるものでありWeibelのK理論はグラスマニアン多様体を用いて定義される. また, トポスの入った適切な導来スキームの圏で両者が同値であるかどうかをトポスの性質で記述する. このことについては, Robaloの非可換空間においてベクトル束や, 何を以って分類とみなすのか等の定式化を行うことによりグラスマン多様体を定式化できるであろうという目処を立てることが出来た.