Gブラウン運動に対する確率解析と非線形熱方程式への応用

G-布朗运动的随机分析及其在非线性热方程中的应用

• 批准号: 12J04442
• 负责人: 大須賀 恵実
• 金额: $ 1.15万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2012
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2012 至 2013
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-12J04442/
• 关键词: G-ブラウン運動; G-期待値; importance sampling; ギルサノフ変換; 大偏差原理; 分散不確定性; ラプラス原理; 変分表現

G-ブラウン運動は, 分散に不確定性をもつブラウン運動の概念を定式化した概念である. S. Peng(2007, 2008)はG-ブラウン運動を実現する劣線形期待値として, G-期待値を構築した. 本研究の目的は, 非線形熱方程式の粘性解を, G-ブラウン運動を用いた確率論的手法によって解析し, 最終的には非線形偏微分方程式論においてまだ知られていない粘性解の振る舞いを導くことである. そのための基礎研究として, 本年度は通常の確率解析において知られている結果が, G-ブラウン運動の場合にも成り立つかを調べた. 具体的には以下の研究を行った.私は昨年度までに, G-ブラウン運動に対するギルサノフの公式を得た. これは, G-期待値に重みを付けることによって, ドリフト付きG-ブラウン運動をG-ブラウン運動とするような劣線形期待値を得るための変換公式である. またこの他に, G-ブラウン運動の汎関数に対する変分表現も得, その応用として, G-ブラウン運動とG-ブラウン運動の2次変分の同時法則に対する大偏差原理を導出することができることも分かった.通常の確率解析においてはギルサノフの公式の応用として, importance samplingがある. importance samplingとは, 分散を最小化するような測度変換の下でサンプリングを行うことで, 期待値評価の精度を上げる手法である. 特にギルサノフ変換による測度変換のなかで分散を最小化するという問題に対し, Guasoni-Robertson(2008)は大偏差原理の理論を用いることで1つの答えを導いた. 本研究では, 彼らの結果をG-期待値の場合へ拡張した(大阪大学の関根順教授・加藤恭助教との共同研究に基づく). この結果により, 分散に不確定性のある状況下でのimportance samplingが可能となった. これによりG-期待値のシミュレーションの理論のさらなる発展が期待される.

G- S. Peng(2007, 2008) argues that G-expectation values are constructed for the realization of linear motion. The purpose of this study is to analyze the viscous solution of the nonlinear heat equation by using the method of accurate rate theory, and finally to understand the viscous solution of the nonlinear partial differential equation theory. This year, the results of basic research on G-related sports have changed from the usual accuracy analysis to the adjustment of the situation. Specific research on the following topics. In the past year, the G-ray motion has been studied. The G-expectation value is calculated by the equation of the G-expectation value. In this case, the principle of large deviation is derived from the principle of large deviation of the second order of the G-motion and the simultaneous law of the G-motion. Usually, the accuracy analysis of the formula is not correct, importance sampling is not correct. importance sampling, minimization of dispersion, estimation of accuracy, and estimation of accuracy. In particular, Guasoni-Robertson(2008) introduced the application of the large deviation principle to the minimization problem. The results of this study are based on the G-expectation of the results. The result is that the importance of sampling under decentralized uncertainty is not possible. The theory of G-expectation and G-expectation is expected to develop in the future.

项目成果

Girsanov’s formula for G-Brownian motion

• DOI: 10.1016/j.spa.2012.12.009
• 发表时间: 2011-06
• 期刊: Stochastic Processes and their Applications
• 影响因子: 1.4
• 作者: Emi Osuka