離散群とフォンノイマン環

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フォンノイマン環に定義される基本群とよばれる不変量について研究している．この計算は非常に困難とされており，多くの計算結果は，Cartan部分環と呼ばれる良い部分環とのペアを考える事で得られている．私は昨年度まで，自由量子群と呼ばれる量子群から作られるフォンノイマン環を研究しており，特にこの環がCartan部分環を持たない事を示していた．これは，基本群の計算にCartan部分環を使えないという事であり，否定的な結果に見える．しかしこの結果から，非常に強い構造定理「接合積フォンノイマン環と同型にならない」が従うため，環の分類というより大きな視点においては，非常に意義のある結果である．私は今年度，この研究をさらに発展させる事で，自由量子群フォンノイマン環の有限個のテンソル積が，一意テンソル分解定理を満たす事を示した．すなわち，このテンソル積フォンノイマン環が，他のテンソル積フォンノイマン環と同型ならば，テンソル因子同士が互いに同型であるという事を示した．これは小澤・Popaによる自由群フォンノイマン環の一意テンソル分解定理の，自由量子群に対する再現である．証明において重要だったのは，almost periodic stateと呼ばれる良い写像の存在だ．これと，私の昨年度までの研究で得られていた「連続核の上の性質（AO）」を組み合わせる事で，まず連続核の上で弱い一意テンソル分解定理を示し，それを用いて元の環のレベルで一意テンソル分解定理を示す事が出来た．また，C. Houdayer氏との共同研究で，free independenceと呼ばれる性質をIII型フォンノイマン環に対して示した．応用として，QWEPと呼ばれる性質が自由積で保たれる事の新しい証明を与える事や，relative Dixmier propertyと呼ばれる性質を満たすIII型環の例を作る事などに成功した．