Deformation/rigidity theoryと冨田・竹崎理論

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フォンノイマン環とは，（簡単に言えば）無限次元の行列環の事である．特にトレース写像を持たない場合に，III型フォンノイマン環という．これは物理学にも現れる自然な研究対象であり，私はこれを数学的な視点から研究している．本研究は，トレース写像を持つ場合に得られた近年の研究結果を，III型の場合に再現する事を基本的目標としている． 特に冨田竹崎理論の重要な道具である連続核を用いた研究を行う．今年度も，前年度に引き続きHaagerup-Stormer予想(1991)に取り組んだ．これはIII型フォンノイマン環の自己同型に関する予想であり，非常にいい加減に説明すると以下のようなものである：環上の状態（良い線形汎関数の事）の性質をあまり変えない自己同型はモジュラー作用素しかない．従順環（物理学に現れるクラス）については成り立つ事が知られており，非従順環の場合に成り立つ例は，私とC. Houdayer氏の共同研究によって前年度に得られていた．ただし前年度に得られた例は全て，almost periodicと呼ばれるクラスに入っていた．今年度はこのalmost periodicという仮定をはずした例を探した．結果として，前年度の研究で得た主定理の一つを一般化する事に成功した．これを用いてalmost periodicでない場合の例が得られるはずであるが，これはまだ現在も研究中である．これらの証明では上述した近年の研究結果の一つである「二つの状態に対するintertwiningの技術」が本質的な役割を果たしている．