Geometrische Variationsprobleme für Cartan-Funktionale

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Cartan-Funktionale spielen bei der Modellierung physikalischer Phänomene, etwa bei anisotropen Phasenübergängen und Kristallwachstum eine bedeutende Rolle. Andererseits liefern die Cartan-Funktionale die allgemeinste Form parameterinvarianter Variationsintegrale erster Ordnung und stellen damit die natürliche Verallgemeinerung des Flächen- und H-Flächenfunktionals dar. Zudem beruht die von E. Cartan in Auge gefasste Generalisierung der Finslergeometrie und damit der Geometrischen Optik auf der Analysis solcher Variationsintegrale. In diesem Projekt wollen wir Regularitätssätze für zugehörige Minimierer und Extremalen beweisen. Eine Hauptschwierigkeit dabei besteht in der Kontrolle der Verzweigungspunktmenge, über deren Größe man momentan noch keinerlei Aussage machen kann. Es werden neue Techniken benötigt, da die Formulierung einer klassischen Euler-Lagrange Gleichung wegen der natürlichen Singularität parametrischer Integranden nicht ohne weiteres möglich ist. Auf der anderen Seite möchten wir stationäre, verzweigungsfreie Lösungen konstruieren und bekannte Existenzresultate auch auf anisotrope Funktionale ausdehnen, die nicht mehr parameterinvariant sind oder nicht-glatte Anteile besitzen.