正則運動によるタイヒミュラー曲線の解析的研究

平成26年度はタイヒミュラー曲線から正則運動を構成する際に，その変形の対象となると考えられるVeech 曲面の周期点について研究を行った．この評価式を得るために，Veech曲面を円柱に分解した際の円柱の周長及び高さの比をVeech曲面のトポロジー及びVeech群のフックス群としての符号のみで上から評価した．更に，Veech曲面の2つの円柱分解で，互いの円柱が全て交わる様なものを構成した．この様な評価式及び円柱分解に加え，Gutkin-Hubert-Schmidtが非算術的Veech曲面の周期点の個数が有限個であることを示す際に用いた手法を利用することで，非算術的Veech 曲面の周期点の個数をVeech 曲面のトポロジー及びVeech群のフックス群としての符号のみに依存する指数オーダーの量で評価した．この評価は既存の評価と比較して，精度が非常に良いものである．更にこの評価式を，タイヒミュラー曲線に対応するリーマン面の正則族の正則切断の個数評価へと応用した．タイヒミュラー曲線上には自然にリーマン面の正則族が構成でき，その正則族はVeech曲面の変形で表現できる．更に，タイヒミュラー曲線に対応するリーマン面の正則族の正則切断はそのVeech曲面の周期点に対応する．非算術的Veech曲面が与えられた際に構成できる全てのタイヒミュラー曲線に対し，その上のリーマン面の正則族の正則切断の個数を，元の非算術的Veech曲面のトポロジー及び対応するVeech群のフックス群としての符号のみに依存する量で一様に上から評価した．

平成26年度はタイヒミュラー曲線から正則運動を構成する際に，その変形の対象となると考えられるVeech 曲面の周期点について研究を行った．この評価式を得るために，Veech曲面を円柱に分解した際の円柱の周長及び高さの比をVeech曲面のトポロジー及びVeech群のフックス群としての符号のみで上から評価した．更に，Veech曲面の2つの円柱分解で，互いの円柱が全て交わる様なものを構成した．この様な評価式及び円柱分解に加え，Gutkin-Hubert-Schmidtが非算術的Veech曲面の周期点の個数が有限個であることを示す際に用いた手法を利用することで，非算術的Veech 曲面の周期点の個数をVeech 曲面のトポロジー及びVeech群のフックス群としての符号のみに依存する指数オーダーの量で評価した．この評価は既存の評価と比較して，精度が非常に良いものである．更にこの評価式を，タイヒミュラー曲線に対応するリーマン面の正則族の正則切断の個数評価へと応用した．タイヒミュラー曲線上には自然にリーマン面の正則族が構成でき，その正則族はVeech曲面の変形で表現できる．更に，タイヒミュラー曲線に対応するリーマン面の正則族の正則切断はそのVeech曲面の周期点に対応する．非算術的Veech曲面が与えられた際に構成できる全てのタイヒミュラー曲線に対し，その上のリーマン面の正則族の正則切断の個数を，元の非算術的Veech曲面のトポロジー及び対応するVeech群のフックス群としての符号のみに依存する量で一様に上から評価した．