Veech曲面の幾何学

Veech 表面几何形状

• 批准号: 17K14184
• 负责人: 四之宮 佳彦
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Shizuoka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2017
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2017-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-17K14184/
• 关键词: リーマン面; 平坦曲面; 周期行列; 曲線複体; タイヒミュラー空間; Veech群; Veech曲面; 低次元トポロジー; 函数論

本研究の目的は，Veech曲面の曲線複体，円柱分解，高さ比などVeech曲面の幾何学的性質の解明である．Veech 曲面が種数2の場合に知られている曲線複体の性質の一般種数への拡張を目指している．また，一般の超楕円的Veech 曲面上の曲線の様相の解明も目標としている．これらをもとにVeech 曲面の2つの良い円柱分解を用いて，高さ比をVeech群の型を比較する不等式で，より高精度なものを求めることを目指している．今年度は2つの研究を行った．1つ目は一昨年度の研究の修正である．一昨年度の研究で超楕円的平坦曲面の曲線複体の性質の一部を明らかにしたと考えていたがギャップが見つかった．その部分について証明の改良をすることができた．昨年度までに考察していた超楕円的平坦曲面の一様の展開図の構成については，まだ完全な解答を得られていないが，その分新たな問題も導き出され，更なる進化が期待できる状況になっている．2つ目は，これまでに引き続き周期行列の具体例の構成の研究である．正方形と長方形を階段状に組み合わせた多角形で構成されるリーマン面の周期行列に関する公式をこれまでの研究で得ている．これについて特に種数が2の場合にはその公式をさらに明示的なものにできることを指した．この公式は平坦曲面の議論と相性が非常に良いもので，周期行列の各成分を平坦曲面のある種の長さのパラメータ1つを変数とする有理関数で表示している．パラメータ付きで周期行列を与える公式は本研究以外になく，特に種数2の場合の様な明示的な表示は新しい．

The purpose of this study is to clarify the geometric properties of Veech surfaces, such as the curve complex of Veech surfaces, the cylindrical decomposition, and the high ratio of Veech surfaces. The curve on the Veech surface of the general super circle and the solution of the phase of the curve on the Veech surface are clearly defined. 2. A good cylindrical decomposition of Veech surfaces is used to obtain high precision solutions for Veech group types. This year's annual research is revised. A study on the properties of curved complex of flat curved surfaces of super-curved surfaces was carried out in the past year. Some of the proof is improved. Last year, we investigated the structure of a kind of flat curved surface with super-large diameter, and found a complete solution to the problem. We also studied the structure of a kind of periodic array. Square and rectangle are formed in stages and polygonal are formed in periodic rows. The number of special cases is 2, the formula is 2, and the explicit formula is 2. This formula is very good for the discussion and phase of flat surfaces, and the components of periodic rows are expressed in the form of flat surfaces. In addition to this study, the formula of periodic array is new, especially in the case of number 2.

项目成果

Period matrices of some hyperelliptic Riemann surfaces

一些超椭圆黎曼曲面的周期矩阵

• 发表时间: 2021
• 作者: Yoshihiko Shinomiya

Flat structures on Riemann surfaces

黎曼曲面上的平面结构

• 发表时间: 2023
• 作者: 鯉江秀行(登壇者);板垣智洋;眞田克典;Shinomiya Yoshihiko;Yoshihiko Shinomiya
• 通讯作者: Yoshihiko Shinomiya

L-shapeの周期行列

L型周期矩阵

• 发表时间: 2023
• 作者: Takayuki Moriyama and Takashi Nitta;Yoshihiko Shinomiya
• 通讯作者: Yoshihiko Shinomiya

Simple closed geodesics on hyperelliptic translation surfaces.

• 发表时间: 2020-03
• 期刊: arXiv: Geometric Topology
• 作者: Yoshihiko Shinomiya