Veech曲面の幾何学

本研究の目的は，Veech曲面の曲線複体，円柱分解，高さ比などVeech曲面の幾何学的性質の解明である．Veech 曲面が種数2の場合に知られている曲線複体の性質の一般種数への拡張を目指している．また，一般の超楕円的Veech 曲面上の曲線の様相の解明も目標としている．これらをもとにVeech 曲面の2つの良い円柱分解を用いて，高さ比をVeech群の型を比較する不等式で，より高精度なものを求めることを目指している．今年度は2つの研究を行った．1つ目は一昨年度の研究の修正である．一昨年度の研究で超楕円的平坦曲面の曲線複体の性質の一部を明らかにしたと考えていたがギャップが見つかった．その部分について証明の改良をすることができた．昨年度までに考察していた超楕円的平坦曲面の一様の展開図の構成については，まだ完全な解答を得られていないが，その分新たな問題も導き出され，更なる進化が期待できる状況になっている．2つ目は，これまでに引き続き周期行列の具体例の構成の研究である．正方形と長方形を階段状に組み合わせた多角形で構成されるリーマン面の周期行列に関する公式をこれまでの研究で得ている．これについて特に種数が2の場合にはその公式をさらに明示的なものにできることを指した．この公式は平坦曲面の議論と相性が非常に良いもので，周期行列の各成分を平坦曲面のある種の長さのパラメータ1つを変数とする有理関数で表示している．パラメータ付きで周期行列を与える公式は本研究以外になく，特に種数2の場合の様な明示的な表示は新しい．

本研究の目的は，Veech曲面の曲線複体，円柱分解，高さ比などVeech曲面の幾何学的性質の解明である．Veech 曲面が種数2の場合に知られている曲線複体の性質の一般種数への拡張を目指している．また，一般の超楕円的Veech 曲面上の曲線の様相の解明も目標としている．これらをもとにVeech 曲面の2つの良い円柱分解を用いて，高さ比をVeech群の型を比較する不等式で，より高精度なものを求めることを目指している．今年度は2つの研究を行った．1つ目は一昨年度の研究の修正である．一昨年度の研究で超楕円的平坦曲面の曲線複体の性質の一部を明らかにしたと考えていたがギャップが見つかった．その部分について証明の改良をすることができた．昨年度までに考察していた超楕円的平坦曲面の一様の展開図の構成については，まだ完全な解答を得られていないが，その分新たな問題も導き出され，更なる進化が期待できる状況になっている．2つ目は，これまでに引き続き周期行列の具体例の構成の研究である．正方形と長方形を階段状に組み合わせた多角形で構成されるリーマン面の周期行列に関する公式をこれまでの研究で得ている．これについて特に種数が2の場合にはその公式をさらに明示的なものにできることを指した．この公式は平坦曲面の議論と相性が非常に良いもので，周期行列の各成分を平坦曲面のある種の長さのパラメータ1つを変数とする有理関数で表示している．パラメータ付きで周期行列を与える公式は本研究以外になく，特に種数2の場合の様な明示的な表示は新しい．