位相幾何学のグラフ理論への応用とホモトピー理論への組み合わせ的アプローチ

本年度も引き続きオーソスキーム複体の CAT(0) 性について研究を行った。オーソスキーム複体は、高さ有限の階層的半順序集合に対して定義される区分的ユークリッド単体的複体である。高さ有限の階層的半順序集合 P のオーソスキーム複体は P の順序複体に P の順序と「整合的」な距離を入れた空間とみなすことができる。CAT(0) 性は曲率の非正性を測地的距離空間に一般化した概念である。測地的距離空間 X が CAT(0) 性をみたすとは、おおまかにいえば X の上に測地線で描かれた三角形がユークリッド平面に描かれた三角形と比べて少なくとも同じくらい細いことをいう。P のオーソスキーム複体が CAT(0) 性をみたすための十分条件については既にいくつかの研究結果がある。必要十分条件については高さが 4 以下の最大元と最小元を持つ階層的半順序集合に関して先行研究があるが、これは非常に限定的な状況であった。本研究では、既存の研究とは別のアプローチで、あるクラスの半順序集合についてそのオーソスキーム複体が CAT(0) 性をみたすための簡便な必要十分条件を与えた。それが次の定理である。「S を高さ有限の局所分配的半束とする。このとき S のオーソスキーム複体が CAT(0) 性をみたすための必要十分条件は S がフラグ条件をみたすことである。」ここで半束 S がフラグ条件をみたすとは、任意の S の 3 つの元について、どのペアについても上界が存在するならば、その 3 つの元の上界が存在することをいう。証明は、局所分配的半束についてその表現定理を示し、Gromov による立方体的複体の CAT(0) 性の特徴付けに帰着する形で行った。

本年度も引き続きオーソスキーム複体の CAT(0) 性について研究を行った。オーソスキーム複体は、高さ有限の階層的半順序集合に対して定義される区分的ユークリッド単体的複体である。高さ有限の階層的半順序集合 P のオーソスキーム複体は P の順序複体に P の順序と「整合的」な距離を入れた空間とみなすことができる。CAT(0) 性は曲率の非正性を測地的距離空間に一般化した概念である。測地的距離空間 X が CAT(0) 性をみたすとは、おおまかにいえば X の上に測地線で描かれた三角形がユークリッド平面に描かれた三角形と比べて少なくとも同じくらい細いことをいう。P のオーソスキーム複体が CAT(0) 性をみたすための十分条件については既にいくつかの研究結果がある。必要十分条件については高さが 4 以下の最大元と最小元を持つ階層的半順序集合に関して先行研究があるが、これは非常に限定的な状況であった。本研究では、既存の研究とは別のアプローチで、あるクラスの半順序集合についてそのオーソスキーム複体が CAT(0) 性をみたすための簡便な必要十分条件を与えた。それが次の定理である。「S を高さ有限の局所分配的半束とする。このとき S のオーソスキーム複体が CAT(0) 性をみたすための必要十分条件は S がフラグ条件をみたすことである。」ここで半束 S がフラグ条件をみたすとは、任意の S の 3 つの元について、どのペアについても上界が存在するならば、その 3 つの元の上界が存在することをいう。証明は、局所分配的半束についてその表現定理を示し、Gromov による立方体的複体の CAT(0) 性の特徴付けに帰着する形で行った。