Die Alperin-McKay-Vermutung für endliche Gruppen

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Gruppen spielen eine ausgezeichnete Rolle in verschiedenen naturwissenschaftlichen Gebieten, etwa in der Physik und Kristallographie. Sie können überall dort angewendet werden, wo ein naturwissenschaftliches Phänomen oder Objekt Symmetrien aufweist. Wichtige Informationen über eine Gruppe liefern ihre Darstellungen, das sind konkrete Realisierungen einer abstrakt gegebenen Gruppe als Gruppe von Matrizen. Die irreduziblen Darstellungen einer Gruppe sind die kleinsten Bestandteile, aus denen jede Darstellung zusammengesetzt ist. Eine endliche Gruppe besitzt nur endlich viele verschiedene irreduzible Darstellungen. Über die Grade dieser irreduziblen Darstellungen, also die Größen der zugehörigen Matrizen, sind in den letzten dreißig Jahren eine Reihe tiefer und wichtiger Vermutungen aufgestellt worden. Ziel des hier angesprochenen Vorhabens ist es, die älteste dieser Vermutungen, die sogenannte Alperin-McKay Vermutung, zumindest in einer großen Klasse von Fällen, zu beweisen. Ein Beweis dieser Vermutung zöge eine Reihe wichtiger Folgerungen über irreduzible Darstellungen endlicher Gruppen nach sich.