順列決定グラフを用いた順列問題に対する効率的な解析・処理

本研究課題では、モノの並び順を表現する数学概念である順列を研究対象とている。例えば仕事の処理順や検索結果のランキングなどは順列はとみなすことができ、制約を満たす順列の列挙は日常的に現れる様々な問題に対する解を求めることに相当する。順列はモノの数の階乗個考えられるのでその数は膨大である。本研究課題では与えられた問題の制約を満たす順列を全て列挙しつつ、計算機のメモリ上に効率的に保存する手法の開発に取り組む。当該年度では具体的な数学問題として、(1) 可逆回路と呼ばれる順列に関連する論理回路の設計問題や、(2) 複数の順列に共通したパターンを求める問題などを扱い、今までに知られていた手法よりも高速・省メモリに列挙を行うアルゴリズム・データ構造を提案した。このような手法を考案することは、問題各々の実応用的価値のみならず、手法設計を通じて得られた問題に対する考察・理論解析なども重要な貢献となった。また、上記の問題に加え、昨年度以前に取り組んだ問題から得た知見を統合し、類似する手法が可能になる問題に共通する要素は何なのか、という視点から問題を分類することに取り組んだ。すべての問題をうまく分類するには至らなかったが、一部の問題については特徴づけに成功した。これにより、まだ取り扱っていない問題であっても、本研究で発見した特徴を有する問題であれば、同様の手法によって効率的な列挙を実現することが容易になった。上述の通り、具体的な問題に取り組んで得られた結果から体系的な知見を得るという流れは研究計画に示した通りであり、予定通り研究サイクルを循環させることができたと言える。当初目標としていた水準まで体系を完全に追究できたとは言い難いが、当該分野において着実に前進したといえる結果を与えられたと考えている。

本研究課題では、モノの並び順を表現する数学概念である順列を研究対象とている。例えば仕事の処理順や検索結果のランキングなどは順列はとみなすことができ、制約を満たす順列の列挙は日常的に現れる様々な問題に対する解を求めることに相当する。順列はモノの数の階乗個考えられるのでその数は膨大である。本研究課題では与えられた問題の制約を満たす順列を全て列挙しつつ、計算機のメモリ上に効率的に保存する手法の開発に取り組む。当該年度では具体的な数学問題として、(1) 可逆回路と呼ばれる順列に関連する論理回路の設計問題や、(2) 複数の順列に共通したパターンを求める問題などを扱い、今までに知られていた手法よりも高速・省メモリに列挙を行うアルゴリズム・データ構造を提案した。このような手法を考案することは、問題各々の実応用的価値のみならず、手法設計を通じて得られた問題に対する考察・理論解析なども重要な貢献となった。また、上記の問題に加え、昨年度以前に取り組んだ問題から得た知見を統合し、類似する手法が可能になる問題に共通する要素は何なのか、という視点から問題を分類することに取り組んだ。すべての問題をうまく分類するには至らなかったが、一部の問題については特徴づけに成功した。これにより、まだ取り扱っていない問題であっても、本研究で発見した特徴を有する問題であれば、同様の手法によって効率的な列挙を実現することが容易になった。上述の通り、具体的な問題に取り組んで得られた結果から体系的な知見を得るという流れは研究計画に示した通りであり、予定通り研究サイクルを循環させることができたと言える。当初目標としていた水準まで体系を完全に追究できたとは言い難いが、当該分野において着実に前進したといえる結果を与えられたと考えている。