ケーラー・リッチソリトンと端的ケーラー計量の複素解析幾何

1．昨年度に引き続き高橋良輔氏(東北大)と共同で反標準的balanced計量の存在問題について研究した。昨年度定義した反標準的Chow安定性は特殊なテスト配位に対してのみにしか定義できていなかったが、一般のテスト配位に拡張することができた。拡張された反標準的Chow安定性をF安定性に名称を改めた。F安定性に関して次のような成果を得た:(1)反標準的balanced計量が存在するならばF安定である;(2)漸近的Chow安定ならば漸近的F安定である;(3)一様K安定ならば漸近的F安定である;(4)漸近的F半安定ならばK半安定である. また(1)の証明の副産物としてCalabi型汎関数の下限をDonaldson-二木不変量を用いて下から評価する不等式を得た。これはDonaldsonによるCalabi汎関数の下限評価のFano多様体における類似である。2．満渕により導入された一般化されたKahler-Einstein計量の存在問題について研究を行った。YaoはトーリックFano多様体に対する相対Ding安定性を定義し、一般化されたKahler-Einstein計量の存在と相対Ding安定性が同値であることを示した。これに触発されて、私はトーリックFano多様体に対して相対Ding半安定性が相対K安定性を導くことを示した。これと計算機による計算からどの3次元トーリックFano多様体が相対Ding安定性であるかを決定し、この場合の存在問題を完全に解決した。一般のFano多様体に対して相対Ding安定性を定義し、一般化されたKahler-Einstein計量の存在が相対Ding半安定性を導くことを示した。証明には上で述べたCalabi型汎関数の下限評価を用いる。下限評価の更なる応用として、一般化されたKahler-Einstein計量がDing energyを最小化することもわかった。

1．昨年度に引き続き高橋良輔氏(東北大)と共同で反標準的balanced計量の存在問題について研究した。昨年度定義した反標準的Chow安定性は特殊なテスト配位に対してのみにしか定義できていなかったが、一般のテスト配位に拡張することができた。拡張された反標準的Chow安定性をF安定性に名称を改めた。F安定性に関して次のような成果を得た:(1)反標準的balanced計量が存在するならばF安定である;(2)漸近的Chow安定ならば漸近的F安定である;(3)一様K安定ならば漸近的F安定である;(4)漸近的F半安定ならばK半安定である. また(1)の証明の副産物としてCalabi型汎関数の下限をDonaldson-二木不変量を用いて下から評価する不等式を得た。これはDonaldsonによるCalabi汎関数の下限評価のFano多様体における類似である。2．満渕により導入された一般化されたKahler-Einstein計量の存在問題について研究を行った。YaoはトーリックFano多様体に対する相対Ding安定性を定義し、一般化されたKahler-Einstein計量の存在と相対Ding安定性が同値であることを示した。これに触発されて、私はトーリックFano多様体に対して相対Ding半安定性が相対K安定性を導くことを示した。これと計算機による計算からどの3次元トーリックFano多様体が相対Ding安定性であるかを決定し、この場合の存在問題を完全に解決した。一般のFano多様体に対して相対Ding安定性を定義し、一般化されたKahler-Einstein計量の存在が相対Ding半安定性を導くことを示した。証明には上で述べたCalabi型汎関数の下限評価を用いる。下限評価の更なる応用として、一般化されたKahler-Einstein計量がDing energyを最小化することもわかった。