準線形偏微分方程式の理論とその応用

拟线性偏微分方程理论及其应用

• 批准号: 16J01494
• 负责人: 小杉 卓裕
• 金额: $ 1.09万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2016
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2016-04-22 至 2018-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-16J01494/
• 关键词: 粘性解; 完全非線形方程式; 準線形方程式; 自由境界問題; p-ラプラス作用素; 最大値原理; 弱ハルナック不等式

劣線形増大度及び優線形増大度の両方をもつ完全非線形楕円型方程式に対する強解の存在性，ABP最大値原理及び弱ハルナック不等式が成り立つことを示した．p-ラプラシアンのpの値が変数に依存しているp(x)-ラプラシアンをもつ方程式は一階微分で方程式全体を割ると劣線形増大度が現れ，さらに勾配の大きさによって劣線形増大あるいは優線形増大で評価できる項が現れるため，非斉次p(x)-ラプラス方程式に対する弱ハルナック不等式や解のヘルダー連続性，より高い正則性を導く際に応用可能性がある．pが2より小さい時のp-ラプラス方程式に代表されるような勾配が0で特異性をもつ偏微分方程式を扱う場合，Crandall-Lionsで導入された粘性解は適切でない．p-ラプラスタイプの完全非線形方程式の粘性解の正則性を扱っている先行研究のいくつかでは粘性解の定義として，定数であるときに主要部が消えた方程式をみたすとしたものを採用している．一方，放物型方程式の場合ではテスト函数のクラスを制限した粘性解を採用しており，楕円型でも同様の定義を考えるのは自然である．この二つの意味の粘性解の同値性を示した．これにより特異楕円型方程式の粘性解の基本理論に使われる可能性がある．異方性があるアイコナル方程式の粘性劣解であることとその異方性に対応した局所リプシッツ連続函数であることの同値性を得た．勾配拘束問題と障害物問題の同値性の証明では勾配拘束条件から決まる解のリプシッツ評価を得ることが一つの鍵となっており，これにより位置に依存した勾配拘束条件をもつ勾配拘束問題とそれから決まる勾配拘束問題の同値性を得られる可能性がある．グラフの平均曲率流方程式に対する障害物問題の処罰法に依る近似解が元の方程式に収束する際の収束率を，Evansが2010年に導入した非線形随伴法を用いて求めた．

The existence of strong solutions to completely non-linear differential equations, ABP maximum value principle and weak inequality are shown.p(x)-p(x)-p (For example, if the linear shape of the match increases, the linear shape of the match increases, the term of the match increases, and the term of the match increases, the term of the match increases, and the term of the match increases. Crandall-Lions is introduced into the viscous solution. The regularity of the viscous solution of the completely non-linear equation is studied in advance. The definition of the viscous solution is determined by the main part of the equation. In the case of a square equation, the viscosity solution of the equation is restricted by the function of the equation. The meaning of viscosity solution and the equivalence of viscosity solution are shown. The basic theory of viscosity solution of special type equation is discussed. The viscosity of the anisotropic equation is determined by the isotropy of the equation. The proof of equivalence between the matching constraint problem and the obstacle problem is that the matching constraint condition is dependent on the position of the matching constraint problem and the solution is dependent on the possibility of the matching constraint problem. The penalty method for the obstacle problem based on the average curvature flow equation of the equation is introduced by Evans in 2010.

项目成果

Fully nonlinear elliptic equations with sublinear growth in $Du$

$Du$ 中具有次线性增长的完全非线性椭圆方程

• 发表时间: 2016
• 作者: Naoki Nagakura;小池茂昭，小杉卓裕
• 通讯作者: 小池茂昭，小杉卓裕

一階微分に関して劣線型増大度をもつ完全非線型楕円型方程式について

关于一阶导数具有次线性增长的完全非线性椭圆方程

• 发表时间: 2016
• 作者: Osato Ken;Nishimichi Takahiro;Oguri Masamune;Takada Masahiro;Okumura Teppei;小杉卓裕
• 通讯作者: 小杉卓裕

Maximum principle for Pucci equations with sublinear growth in Du and its applicationｓ

Du次线性增长Pucci方程极大值原理及其应用

• DOI: 10.1016/j.na.2017.03.018
• 发表时间: 2017
• 期刊: Nonlinear Analysis
• 作者: S. Koike and T. Kosugi

Rate of convergence of approximate solutions for obstacle problems

障碍问题近似解的收敛速度

• 发表时间: 2017
• 作者: T. Kosugi

On the rate of convergence of solutions in free boundary problems via penalization

关于自由边界问题的惩罚收敛速度

• DOI: 10.1016/j.jmaa.2017.07.074
• 发表时间: 2018
• 期刊: J. Math. Anal.
• 作者: Koike Shigeaki;Kosugi Takahiro;Naito Makoto
• 通讯作者: Naito Makoto