フレアー理論を用いたシンプレクティック幾何学の研究

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シンプレクティック幾何学の研究、特にハミルトン微分同相群の位相をフレアー理論を応用して研究した。ハミルトン微分同相群には自励的とよばれる、時間によらないハミルトンベクトル場の積分として生成されるハミルトン微分同相写像のなす集合がある。Milnorが指摘したように、一般に微分多様体において、時間によらないベクトル場の積分としてあらわされる恒等写像とisotopicな微分同相写像の集合は非常に小さい。これは、一般の位相線形空間においては、逆関数定理が成り立たないことの重要な例である。シンプレクティック幾何学の文脈でこれを言い換えると「ハミルトン微分同相群のなかで、自励的ではないハミルトン微分同相写像の成す部分集合はC-infinity位相あるいはHofer距離で定まる位相に関して稠密である」という予想になる。PolterovichとShelukhinは、Floer homologyのspectral spreadという概念を発明し、シンプレクティック多様体が閉多様体でかつsymplectically asphericalという条件を満たす場合、上記の予想が成り立つということを証明した。しかし、彼らの証明はConley予想を使ったのもであり、symplectically asphericalという条件がどうしても必要だった。私は、Polterovich-Shelukhinの証明の一般化を研究した。私は、ハミルトン関数の摂動を工夫し、spectral spreadのアイデアを組み合わせることで、上記の予想を一般化した。つまり、一般の閉シンプレクティック多様体、及び一般のconvexなシンプレクティック多様体において上記の予想が成立することを証明した。