擬正則曲線理論を用いたシンプレクティックトポロジーの研究

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2022年度は、前年度に引き続きシンプレクティックトポロジーの研究を継続して行った。シンプレクティック幾何学に限らず、微分幾何学においてはリー群などの群作用が非常に重要な役割を担っている。これは、考えている空間に群に由来するある種の対称性を課すことにほかならない。シンプレクティック幾何学では、リー群のハミルトン作用がトーリック多様体の研究や量子化の問題などで重要な役割を果たしている。また、ある種のハミルトン群作用が存在すれば、作用しているシンプレクティック多様体のグロモフ・ウィッテン不変量や量子こホモロジー環を始めとしたシンプレクティック不変量の性質を知ることができる。与えられたシンプレクティック多様体にどのようなハミルトン作用が存在するか、あるいは存在しないのかという問題は重要である。私は、負に単調（negatively monotone）という種類のシンプレクティック多様体上のシンプレクティック微分同相写像やハミルトン微分同相写像のイテレーションの研究を行った。フレアーホモロジー理論を応用することにより、シンプレクティック微分同相写像とハミルトン微分同相写像がイテレーションを無限回行っても回帰性が存在しないことを証明した。これは、そのような微分同相写像は何らかのコンパクトな群の作用に由来することはあり得ないということを意味している。つまり、負に単調なシンプレクティック多様体がハミルトン多様体からは「極めて遠い」多様体であることを明らかにした。