双曲群上のサブセットカレントの研究

点击翻译按钮获取中文摘要

サブセットカレントはThurstonの導入した測度付き測地線層（measured geodesic lamination）の概念の一般化である測地カレントのさらなる一般化である．幾何学的対象を測度という解析対象と関連付けることによって，曲面上の幾何学的対象の不変量を解析的視点から分析することが可能となる．サブセットカレントは測度付き測地線層に比べて扱う対象が格段に多くなっている．本研究者は今年度サブセットカレントの研究をコンパクト双曲得曲面から非コンパクトな双曲曲面にまで拡大することを目指した．目標であった，稠密性定理および線形連続拡張に関する明確な結果は得られなかったものの，コンパクト双曲曲面の場合の結果を一部拡張することには成功した．まず，非コンパクトな双曲曲面についてもコンパクトな場合と同様にサブセットカレント空間は定義でき，位相空間の観点から見てほぼ同様の性質を持つことがわかった．また，曲面の有限生成部分群からサブセットカレントを定義することが可能であるという点ではコンパクトな場合と全く同様であった，しかしながら，決定的に異なる点として，普遍被覆の無限遠に放物型極限点が存在することが挙げられる．放物型極限点を2個以上の有限個用意することによって，サブセットカレントが定義できることがわかった．簡単な例としては，曲面上のカスプを両端にもつ無限測地線がサブセットカレントを対応付ける（厳密には測地カレント）．また，稠密性定理の観点からも考察が必要であると考えている．線形連続拡張については現状ではいくつかの点で否定的見解が得られている．連続拡張をする上での障害が見つかっており，不変量の捉え方を抜本的に見直すことが求められる．特に交点数については無限に発散することを解消する手段が必要であるとみている．以上のように，限定的ではあるが，着実な成果を挙げることができた．