Currents on hyperbolic surfaces and non-cocompact group actions

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境界付きのコンパクト双曲曲面Σをまず用意し，その境界を一点の穴になるまで潰して得られるカスプ付き双曲曲面Σ'を考える．このとき，それぞれの普遍被覆の無限遠境界の間にCannon-Thurston写像ρが誘導される．当該年度ではこの写像ρをΣの測地カレント空間GC(Σ)からΣ'の測地カレント空間GC(Σ')にρ*拡張したときの性質を調べた．これまでの結果からそれぞれの測地カレント空間はそれぞれの重み付き閉測地線の完備化空間であることが分かっており，ρ*は閉測地線を自然に閉測地線に写す．そこで，ρ*が閉測地線の交点数を保つかについて調べた．結果として，ρ*は次の意味で交点数に保つことが分かった．GC(Σ)の二つのカレントα，βに対して，i(α,β)＝i(ρ*(α),ρ*(β))が成り立つ（ここで，iは交点数を測地カレントに拡張したものである）．この結果は，α，βが単なる閉測地線であれば容易に成り立つことが分かる等式であるが，完備化であるカレントに関しては非自明な等式である．本研究においては，カスプ付き双曲曲面において測地カレント空間が重み付き閉測地線の完備化であるという結果が根底のところで大きな役割を果たしている．この結果については論文を投稿中であり，査読を受けていたが，当該年度中2022年2月にジャーナルGroups, Geometry, and Dynamicsにて受理された．前提としていた結果が一定の評価を得られたことは今後の研究成果を広めていく上でも重要であると言える．