多重旗多様体の軌道分解

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本研究では，多重射影空間(P^(n－1))^m上の一般線形群GL_nの対角的な作用について，その軌道分解の考察が主題である．簡約群Gと，その放物型部分群のm組(P_1,P_2,...,P_m)を考える．このとき，等質空間(G×G×…×G)/(P_1×P_2×…×P_m)はGの多重旗多様体と呼ばれるが，本研究の主題は，この多重旗多様体に対して自然に定まるGの対角作用による軌道分解についての考察である．本年度は特に，Gを複素数体上のn次シンプレクティック群，Pをその極大放物型部分群であってハイゼンベルク冪零根基を持つものとしたときの多重旗多様体G^m/P^m=(CP^(2n－1))^m上の対角G軌道分解を記述した．さらに，そこから付随して，Gをn次の一般線形群，Pをその極大放物型部分群であってG/Pがn－1次の射影空間となるもの，Qを同じくGの極大放物型部分群であってG/Qがグラスマン多様体Gr_(n－1)となるものとしたときに，多重旗多様体 (G^m/P^m)×(G^l/Q^l)=(P^(n－1))^m×(Gr_(n－1))^l の軌道分解の記述について同様の結果を得た．これらはいずれも，多重旗多様体上の対角軌道と，旗多様体から特徴づけられるある箙の単射的な表現の同値類が自然に同一視できるという手法に基づき，ある固定された次元ベクトルdに対して，それに対応した多重旗多様体 Fl_d の部分集合として，箙の表現として直既約な元全体の集合としてIndFl_dを定義すると，その中の開かつ稠密な部分集合を適切に考えることによって，その軌道空間がよく知った多様体(特に，よりサイズの小さい多重旗多様体)と同一視できる，という枠組みによって軌道分解を記述している．