定常渦斑族の精度保証付き数値計算について

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二次元非圧縮流体における定常渦斑問題は形状未知問題であり，その数学・数値解析にあたって形状微分理論が果たす役割は大きい．本研究の第1年度では，この問題のために複素積分作用素型の新たな形状微分公式を導出し，定常渦斑問題に対する統一的な数値計算の枠組みを確立した．この新公式・数値計算手法の渦斑格子回転系への応用についての査読論文はJournal of Computational and Applied Mathematicsに掲載された．第2年度はこの枠組で新たな数値計算を行ったほか，いくつかの新たな課題についても模索した．周期的な渦のパターンは自然界にも見られ，周期設定での渦斑対の問題は渦力学的にも興味深い．そこで，周期的な設定および二重周期的な設定において並進する定常渦斑対を提案手法で数値計算した．その結果，非周期での並進渦斑対に似た形の近似解が得られたものの，解の族には周期性由来と思われるパラメータ依存構造が見られた．この研究成果の一部は，日本流体力学会誌「ながれ」特集号にて掲載された．また，定常渦斑の数値計算法として知られるPierrehumbert法との比較検討も行った．Pierrehumbert法は2次収束性が経験的に知られているが，今までその理論的な根拠が不十分であった．そこで本研究の数値計算法と同じような枠組みで捉え直すことで，Pierrehumbert法が実は逆行列を対角近似した準ニュートン法とみなせることが判明した．さらに，Pierrehumber法では緩和定数と呼ばれる発見法的な定数を用いるが，形状微分で得られる2つの線形作用素の間になんらかの適切なスケール評価が成り立てば緩和定数の値を正当化できることも分かった．（予想部分は未証明であるが）この結果については現在投稿準備中である．