Äquivariante Tamagawa-Zahlen und eine neue Vermutung von Burns

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Die äquivalente Tamagawavermutung (ETNC) ist eine sehr weitreichende und starke Verallgemeinerung sowohl der analytischen Klassenzahlformel wie auch der Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung. Für sogenannte Tate-Motive ist sie vor kurzem im absolut abelschen Fall von David Burns und dem Antragsteller bewiesen worden. Zahlreiche intensiv untersuchte Vermutungen ordnen sich der Vermutung ETNC unter. Ergebnisse über ETNC können sehr konkrete Konsequencen haben. Untersuchungen zu ETNC zerfallen oft in zwei Teile. Zunächst wird die Vermutung in einem gegebenen Rahmen durch Anwendung der allgemeinen und sehr komplexen Technik reduziert, und konkretisiert. Diese konkrete Version wird dann durch immer noch schwierige, aber explizite Argumente und Konstruktionen bewiesen. Dementsprechend zerfällt unser Projekt in zwei Teile, wobei Teil B etwas mehr Gewicht haben soll: A - Allgemeine Arbeit an ETNC für Tate-Motive. Etwas genauer: Da ein unkonditioneller Beweis im Moment nicht erwartet wird, soll abgeklärt werden, welche Standardvermutungen stark genug sind, um ETNC für Tate-Motive zu implizieren. B - Konkrete Manifestationen von ETNC. Hier geht es darum, konkretere Konsequenzen von ETNC aufzuspüren und zu versuchen, diese unkonditionell zu beweisen. Der erste und entscheidende Schritt scheint hier bereits getan worden zu sein, durch eine noch neuere Vermutung CDAL von Burns. Wir nehmen uns vor, an einer konkreteren Aussage (Gross-Torus-Vermutung) zu arbeiten, die auf eine Basiswechsel-Aussage für CDAL hinausläuft.