情報漏洩量と計算量を考慮したランダム推定量の最適性の研究

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平成30年度は，主に2つの課題に取り組んだ．1つ目の取り組みとして，区分単調信号の推定問題の研究を行なった．これは，昨年度に着手した劣モジュラ正則化の研究の応用として位置付けられる．主な成果として，1次元の場合に，推定量のリスクの挙動を調べた．まず，ミニマックスリスクの下界を導出し，計算量の制約がなければ達成可能であることを示した．一方，劣モジュラ正則化による推定量は多項式時間で計算可能な推定量であり，ある追加の条件のもとでは，ほぼ最適な収束レートを達成することを証明した．本プロジェクトにおける主な課題は，計算量の制約と統計的な最適性の関係を調べることであった．上記の結果は，理論計算量と統計的なリスクのトレードオフを部分的に明らかにしているため，本プロジェクトにおいて当初設定した目標に対して一つの回答を与えたと言える．また，劣モジュラ正則化の研究に関して，前年度の成果を含めて2本の論文の投稿を行ない，国内シンポジウムで1件の口頭発表を行なった．2つ目の取り組みとして，低次元のサポートをもつ分布の推定問題の研究を行なった．特に，サポートの内在的な次元が既知であり，「体積」が定義できる集合であるとき，体積制約のもとでの推定について考察を行なった．この設定には，例えば，次元と体積の上界が既知だが集合としては未知であるコンパクト部分多様体上の（なめらかな）分布などが含まれる．本研究では，この問題における（ノンパラメトリックな）最尤推定量の収束レートを導出し，分布推定問題のある損失関数が，データの次元ではなく，サポートの内在的な次元に依存した収束レートを持ちうることを明らかにした．この課題に関しては国内学会で2件の発表を行い，1件のポスター発表について学生最優秀プレゼンテーション賞を受賞した．