A study on random walks on covering graphs via discrete geometric analysis and stochastic analysis

本年度は被覆グラフ上のランダムウォークの極限定理に関して離散幾何解析及び確率解析を用いて研究を行った。1．前年度筆者はべき零被覆グラフ上の非対称ランダムウォークの中心極限定理について石渡氏及び河備氏と共同研究を行った。まずグラフをあるべき零リー群上に周期的に実現しその修正調和性及びべき零リー群の階数2かつ中心化条件の下汎関数中心極限定理を示した。この続編として、べき零リー群の階数を任意の正整数にまで拡張した。我々は(1)推移作用素に発散項を引き去る効果を付したシフト作用素を用いる手法及び(2)ランダムウォークの摂動を考え、摂動パラメータと時空スケールを同時に動かして発散項を弱める手法、の2通りで挑んだが、いずれの場合にもラフパス理論の「Lyonsの拡張定理」の証明のアイデアを拡張・適用して証明した。(1)では中心化条件の下、べき零リー群上のブラウン運動に非対称性・非可換性を反映するドリフトつきの拡散過程を捉えた。またドリフトが実現の自由度に依存しないという性質を得た。(2)では自然な仮定の下、べき零リー群上のブラウン運動にランダムウォークの平均量をドリフトとする拡散過程を捉えた。2. 大数の法則と中心極限定理の中間スケールの下、平均からの確率減衰を記述する主張を「中偏差原理」と呼ぶ。筆者はべき零被覆グラフに対応するべき零リー環の生成部分空間に値をとる絶対連続な道の空間上へランダムウォークを移し、これが中偏差原理を満たすことを示した。これを元に、べき零被覆グラフ上のランダムウォークに対しても中偏差原理が成り立つことを示し、対応するレート関数をアルバネーゼ計量を用いて特定した。さらに中偏差原理を応用してべき零被覆グラフ上のランダムウォークが重複対数の法則を満たすことを規格化したランダムウォークの概集積点全体のなす集合を特定する形で与えた。

本年度は被覆グラフ上のランダムウォークの極限定理に関して離散幾何解析及び確率解析を用いて研究を行った。1．前年度筆者はべき零被覆グラフ上の非対称ランダムウォークの中心極限定理について石渡氏及び河備氏と共同研究を行った。まずグラフをあるべき零リー群上に周期的に実現しその修正調和性及びべき零リー群の階数2かつ中心化条件の下汎関数中心極限定理を示した。この続編として、べき零リー群の階数を任意の正整数にまで拡張した。我々は(1)推移作用素に発散項を引き去る効果を付したシフト作用素を用いる手法及び(2)ランダムウォークの摂動を考え、摂動パラメータと時空スケールを同時に動かして発散項を弱める手法、の2通りで挑んだが、いずれの場合にもラフパス理論の「Lyonsの拡張定理」の証明のアイデアを拡張・適用して証明した。(1)では中心化条件の下、べき零リー群上のブラウン運動に非対称性・非可換性を反映するドリフトつきの拡散過程を捉えた。またドリフトが実現の自由度に依存しないという性質を得た。(2)では自然な仮定の下、べき零リー群上のブラウン運動にランダムウォークの平均量をドリフトとする拡散過程を捉えた。2. 大数の法則と中心極限定理の中間スケールの下、平均からの確率減衰を記述する主張を「中偏差原理」と呼ぶ。筆者はべき零被覆グラフに対応するべき零リー環の生成部分空間に値をとる絶対連続な道の空間上へランダムウォークを移し、これが中偏差原理を満たすことを示した。これを元に、べき零被覆グラフ上のランダムウォークに対しても中偏差原理が成り立つことを示し、対応するレート関数をアルバネーゼ計量を用いて特定した。さらに中偏差原理を応用してべき零被覆グラフ上のランダムウォークが重複対数の法則を満たすことを規格化したランダムウォークの概集積点全体のなす集合を特定する形で与えた。