Geometry and Analysis of Compact Lie Group Actions

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「弱鏡映部分多様体」(井川-酒井-田崎 2009)とは，リーマン多様体の極小部分多様体であって，各点において特殊な対称性を持つものである．報告者は昨年度，弱鏡映部分多様体の概念をヒルベルト空間の固有フレドホルム部分多様体(Terng 1989)に対し定義・拡張し，平行移動写像(Terng-Thorbergsson 1995)と呼ばれる無限次元リーマン沈め込みを通して，コンパクト型対称空間G/Kの弱鏡映部分多様体から，ヒルベルト空間の無限次元弱鏡映部分多様体が得られることを示した．本年度は，当初の計画通り，当研究の類似問題をオースティア部分多様体(Harvey-Lawson 1982)やアリッド部分多様体(武富 2018)といった弱鏡映部分多様体の一般化概念に対し研究した．その結果，平行移動写像を通して，球面内のオースティア部分多様体からヒルベルト空間の無限次元オースティア部分多様体が得られること，更にコンパクト型対称空間G/Kのアリッド部分多様体からヒルベルト空間の無限次元アリッド部分多様体が得られることを証明した．この結果は，平行移動写像の性質を記述すると共に，弱鏡映部分多様体とアリッド部分多様体の一種の意味づけを与えているとも言える．報告者は当結果を一つの論文にまとめ，学術誌Differential Geom. Appl.に投稿，査読の結果，当誌への採録が決定した．また本年度はドイツ・アウクスブルク大学 E. Heintze教授を訪問し，東京都立大学・酒井高司教授と共に報告者の研究について議論を重ねた．その結果，G/Kがコンパクト・イソトロピー既約リーマン等質空間の場合に主結果を拡張することに成功した．報告者は当結果を一つの論文にまとめ学術誌に投稿し，それは現在査読中である．