確率過程の統計学に関する研究

Hurst 指数 H が 1/2 より小さい非整数 Brown 運動で駆動される確率微分方程式の解のドリフト係数のパラメータ推定に関する研究を行った。昨年度はドリフトパラメータの最尤推定量に着目し、最尤推定量の漸近的な性質を調べるため、完全長期観測における尤度比確率場の漸近挙動を解析した（最尤推定量の漸近的な性質は尤度比確率場の漸近的な性質より導かれる）。非整数 Brown 運動の Hurst 指数 H が 1/4< H <1/2 なる場合に尤度比確率場の局所漸近正規性を証明した。さらに、この結果に基づいて適当な識別可能性条件の下で最尤推定量の一致性と可能な収束レートを導出した。しかし研究の結果、パラメータが多次元の場合に二次項の極限（Fisher 情報行列）が退化するケースがあり、最尤推定量に関しては一致性以上の良い漸近的性質（漸近正規性など）が一般の場合には見込めないことが判明した。本年度はこれを受けて、上述の二次項の極限の退化が起きないように尤度比を変形した新たな確率場を提案し、この確率場の argmax として得られる M-推定量の漸近的性質について考察を行った。特に、報告者が前年度の研究で証明した非整数 Brown 運動で駆動される確率微分方程式の解の汎関数に対する L2 極限定理を改良し任意の正数 p に対する Lp 極限定理に改良した。これによって多項式型大偏差不等式の理論が適用可能となり、ドリフト係数に対する種々の仮定と Hurst 指数 H が 1/4 より大きいという仮定の下で、提案した M-推定量の一致性、漸近正規性、モーメント収束等の漸近的な性質を導出した。

Hurst 指数 H が 1/2 より小さい非整数 Brown 運動で駆動される確率微分方程式の解のドリフト係数のパラメータ推定に関する研究を行った。昨年度はドリフトパラメータの最尤推定量に着目し、最尤推定量の漸近的な性質を調べるため、完全長期観測における尤度比確率場の漸近挙動を解析した（最尤推定量の漸近的な性質は尤度比確率場の漸近的な性質より導かれる）。非整数 Brown 運動の Hurst 指数 H が 1/4< H <1/2 なる場合に尤度比確率場の局所漸近正規性を証明した。さらに、この結果に基づいて適当な識別可能性条件の下で最尤推定量の一致性と可能な収束レートを導出した。しかし研究の結果、パラメータが多次元の場合に二次項の極限（Fisher 情報行列）が退化するケースがあり、最尤推定量に関しては一致性以上の良い漸近的性質（漸近正規性など）が一般の場合には見込めないことが判明した。本年度はこれを受けて、上述の二次項の極限の退化が起きないように尤度比を変形した新たな確率場を提案し、この確率場の argmax として得られる M-推定量の漸近的性質について考察を行った。特に、報告者が前年度の研究で証明した非整数 Brown 運動で駆動される確率微分方程式の解の汎関数に対する L2 極限定理を改良し任意の正数 p に対する Lp 極限定理に改良した。これによって多項式型大偏差不等式の理論が適用可能となり、ドリフト係数に対する種々の仮定と Hurst 指数 H が 1/4 より大きいという仮定の下で、提案した M-推定量の一致性、漸近正規性、モーメント収束等の漸近的な性質を導出した。