非線形拡散方程式の抽象理論の構築と走化性方程式の数学解析

2020年度は, 慣性項つき非局所フェーズフィールドシステム, 非局所フェーズフィールドシステムに対応する連立抽象発展方程式系, 動的境界条件を持つ放物型・双曲型フェーズフィールドシステムに対応する連立抽象発展方程式系 (以下, それぞれを研究1, 研究2, 研究3とする) のそれぞれに対する数学的な理論の構築に成功した. 放物型・双曲型フェーズフィールドシステムと比べ, 慣性項つき非局所フェーズフィールドシステムでは, 解の正則性が下がってしまい, コンパクト性の方法やSobolevの埋め込み定理などの適用に制限がかかってしまうという難点が生じる. 研究1では, 時間大域的可解性と解の一意性を時間離散化法で得る際に, 近似問題の解のオーダーパラメータの方のL^∞(Ω×(0, T))-評価などを得ることにより, 近似問題に対するCauchyの収束条件を導出することができ, 上記の難点を回避することができた. さらに, タイムステップに関する誤差評価も得ることができた. 研究1で得られた成果は国内の研究集会で発表し, 論文としてまとめて専門誌に投稿した. また, 研究1で得られた成果は論文としてまとめて専門誌に投稿した. 研究2では, 時間大域的可解性と解の一意性を時間離散化法で得る際に, 近似問題に対するCauchyの収束条件を導出することにより, コンパクト性の方法の適用に制限がかかるという難点を回避できることを確認した. さらに, タイムステップに関する誤差評価も得られることも確認した. 研究3では, 動的境界条件を持つ放物型・双曲型フェーズフィールドシステムに対応する連立抽象発展方程式系に適用可能な時間離散化法を構築することによって時間大域的可解性と解の一意性が得られることを確認した. さらに, タイムステップに関する誤差評価も導出できることも確認した.

2020年度は, 慣性項つき非局所フェーズフィールドシステム, 非局所フェーズフィールドシステムに対応する連立抽象発展方程式系, 動的境界条件を持つ放物型・双曲型フェーズフィールドシステムに対応する連立抽象発展方程式系 (以下, それぞれを研究1, 研究2, 研究3とする) のそれぞれに対する数学的な理論の構築に成功した. 放物型・双曲型フェーズフィールドシステムと比べ, 慣性項つき非局所フェーズフィールドシステムでは, 解の正則性が下がってしまい, コンパクト性の方法やSobolevの埋め込み定理などの適用に制限がかかってしまうという難点が生じる. 研究1では, 時間大域的可解性と解の一意性を時間離散化法で得る際に, 近似問題の解のオーダーパラメータの方のL^∞(Ω×(0, T))-評価などを得ることにより, 近似問題に対するCauchyの収束条件を導出することができ, 上記の難点を回避することができた. さらに, タイムステップに関する誤差評価も得ることができた. 研究1で得られた成果は国内の研究集会で発表し, 論文としてまとめて専門誌に投稿した. また, 研究1で得られた成果は論文としてまとめて専門誌に投稿した. 研究2では, 時間大域的可解性と解の一意性を時間離散化法で得る際に, 近似問題に対するCauchyの収束条件を導出することにより, コンパクト性の方法の適用に制限がかかるという難点を回避できることを確認した. さらに, タイムステップに関する誤差評価も得られることも確認した. 研究3では, 動的境界条件を持つ放物型・双曲型フェーズフィールドシステムに対応する連立抽象発展方程式系に適用可能な時間離散化法を構築することによって時間大域的可解性と解の一意性が得られることを確認した. さらに, タイムステップに関する誤差評価も導出できることも確認した.