シュレディンガー写像方程式の数学解析

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本年度は空間異方性を与える物理項を含むランダウ・リフシッツ方程式（シュレディンガー写像の物理学の文脈における名称）の初期値問題の適切性を、海外研究者との共同研究において考察した。この物理項は、対応する修正シュレディンガー写像方程式（mSM）において構造の非自明な非線形項として現れるため、複雑な関数空間を用いる現状の解析手法では処理できない点が問題であった。本研究ではこの問題点を回避することに成功し、ほとんど臨界なソボレフ空間において初期値問題が時間局所適切であることを証明した。証明の鍵となったのが、mSMに対応する「レゾルベント表現公式」の発見である。レゾルベント評価を上記公式に適用することで、解のストリッカーツ型の平滑化評価を獲得することに成功した。この結果はmSMを「自由シュレディンガーからの摂動」と見なす従来の枠組みに取って代わり、「磁場シュレディンガーからの摂動」と見なす独自の新しい枠組みに立脚した解析手法となっており、ランダウ・リフシッツ方程式の新たな研究手法を与える点において意義の極めて大きい結果であると言える。また本研究は①別の物理項を持つ場合、②多様体を一般化した場合、③mSMと同様に電磁場ポテンシャルを未知関数として持つ他の数理モデルを考察した場合など多岐にわたる応用可能性を秘めており、今後の記述改良を通してこれらの問題に応用していく予定である。上記研究の副産物として、para-linearizeされた磁場シュレディンガー方程式に対する局所平滑化評価を獲得することにも成功した。上記結果には適用できなかったが、今後マクスウェル・シュレディンガー系などへの応用を試みる予定である。