Construction of an index reduction algorithm for differential-algebraic equations by combinatorial methods

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微分代数方程式(DAE)は微分方程式と代数方程式の要素を併せ持つ方程式であり、動的システムの解析に広く用いられる。DAEの数値的な解きにくさは、指数とよばれる特性量によって特徴づけられ、DAEで記述された動的システムの高精度な数値計算を行うためには、与えられたDAEを低指数のDAEに変換する操作が重要である。しかし、多くのDAEソルバで採用されている指数減少法には、適用不能なDAEが存在することが知られている。 本研究の目的は、指数減少を確実に行えるDAEのクラスを時変DAEや非線形DAEの世界まで広げ、数値シミュレーションの精度向上に貢献することである。線形時変DAEの指数の特徴づけとして、DAEおよびその部分システムの解の自由度（解を一意に定めるのに決定しなければならない初期値の数）を用いた式が知られている。加えて、線形時変DAEの解の自由度は、各要素が微分演算子の多項式であるような行列（歪多項式行列）のある種の行列式の次数と一致する。これらの理由により、DAEの解析において「歪多項式行列の行列式の次数」という量が自然に現れる。私は昨年度、歪多項式行列の行列式の次数を計算する効率的アルゴリズムを提案した。今年度は、このアルゴリズムが本質的に要求する数学的性質を代数的観点から抽出し、「分割的離散付値斜体上の行列の行列式の付値」の計算アルゴリズムへの拡張を行った。この拡張は、ある種の合理的な仮定の元で本アルゴリズムが適用可能である最も一般的な設定であり、アルゴリズムの正当性の理論的理解という点において重要なものであると考える。この成果は論文としてまとめ、現在、国際会議に投稿中である。