数論的誤差項の平均値問題への新しいアプローチ

数論的誤差項 E(x) に対し，E(n) を係数とするディリクレ級数 D(s,E) の解析的な性質(解析接続，極とそこでの留数，Im(s) に関する増大度等)の情報を用いて E(n) の平均挙動を調べるというのが当該研究の目的である．２０２２年度は主に次の２つの場合を考察した．(1) E(x)がピルツの約数関数の総和に対する数論的誤差項のときにはイヴィッチの先行研究がある．ただ３次の場合に彼の議論にはヴォロノイ公式の使い方に間違いがある．我々は新しい方法で E(n) の正しい平均値を３次の場合に導いた. また４次の場合にはイヴィッチの結果を改良することができた. この結果は研究協力者とともに論文としてまとめ，現在投稿中である．(2) E(x) が一般化された約数関数の総和の誤差項の場合, 当初の準備的な計算に少し誤りがあった．特に D(s,E) の表示の中に現れる積分を, 後の評価に使える形で解析接続する部分に問題があり，その訂正に多くの時間を費やした．問題の本質を理解するために, 約数和の場合を集中的に行った．生成関数には変数にずれがあるため, 現れる積分の評価が難しかったが, 積分のうちで最大のものについて, 約数の逆数和に関する有限ヴォロノイ型の公式に相当するものを示すことができ, その形から指数和の評価に帰着させ, E(n) の平均として cx^2+O(x^{249/194})を示すことができた．ここで c は定数である. 更にこの結果と古典的なディリクレの hyperbola method を組み合わせ，P_2(x/n) の n が x までの和が c'x +O(x^{55/194}) と評価されることを示すことができた．ただし P_2(x) は２次の周期的ベルヌーイ関数である．これらの誤差項の評価は現在知られているもののうちで最良のものである．

数論的誤差項 E(x) に対し，E(n) を係数とするディリクレ級数 D(s,E) の解析的な性質(解析接続，極とそこでの留数，Im(s) に関する増大度等)の情報を用いて E(n) の平均挙動を調べるというのが当該研究の目的である．２０２２年度は主に次の２つの場合を考察した．(1) E(x)がピルツの約数関数の総和に対する数論的誤差項のときにはイヴィッチの先行研究がある．ただ３次の場合に彼の議論にはヴォロノイ公式の使い方に間違いがある．我々は新しい方法で E(n) の正しい平均値を３次の場合に導いた. また４次の場合にはイヴィッチの結果を改良することができた. この結果は研究協力者とともに論文としてまとめ，現在投稿中である．(2) E(x) が一般化された約数関数の総和の誤差項の場合, 当初の準備的な計算に少し誤りがあった．特に D(s,E) の表示の中に現れる積分を, 後の評価に使える形で解析接続する部分に問題があり，その訂正に多くの時間を費やした．問題の本質を理解するために, 約数和の場合を集中的に行った．生成関数には変数にずれがあるため, 現れる積分の評価が難しかったが, 積分のうちで最大のものについて, 約数の逆数和に関する有限ヴォロノイ型の公式に相当するものを示すことができ, その形から指数和の評価に帰着させ, E(n) の平均として cx^2+O(x^{249/194})を示すことができた．ここで c は定数である. 更にこの結果と古典的なディリクレの hyperbola method を組み合わせ，P_2(x/n) の n が x までの和が c'x +O(x^{55/194}) と評価されることを示すことができた．ただし P_2(x) は２次の周期的ベルヌーイ関数である．これらの誤差項の評価は現在知られているもののうちで最良のものである．