保型関数のスペクトル理論とその整数論への応用

自守函数的谱论及其在数论中的应用

• 批准号: 06640033
• 负责人: 谷川 好男
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Nagoya University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• 财政年份: 1994
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1994 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-06640033/
• 关键词: 加法的約数問題; アイゼンシュタイン級数; ア-ス尖点形式; スペクトル理論; クロステルマン和; クロステルマンゼータ関数; 跡公式; リニック予想

加法的約数問題ではしばしば約数関数d(n)に対して、Σ_<n【less than or equal】x>d(n)d(n+k)のxに関する評価が問題になる。Vinogradov-Takhtadzhyanはこの問題に保型関数のスペクトル理論からアプローチするために、積分∫_<Γ＼H>1^*(z,1/2)|^2P_k(z,s)dμ(z)( ここで、E^*(z,α)はEisenstein級数、P_k(z,s)はPoincare級数)を考えた。即ちこの積分をL_2(Γ＼H)に作用するラプラシアンの固有関数でスペクトル分解し、主要項としてのゼータ関数ζ_k(s)=Σ^∞_<n=1>d(n)d(n+k)n^<-S>の評価を求めている。我々はそのアナロジーとして、Eisenstein級数とMaass form f(z)の積の積分I_k(s;α,f)=∫_<Γ∞＼H>E^*(z,α)f(z)y^Se^<2πikx>dμ(z) を考え、その主要項としてのDirichlet級数がどのようなものかを出した。D_k(s;α,f)=Σ^^∞__<m=1>(σ^<2α-1>(m+k)p(m))/(m^8)+ε_fΣ^^∞__<m=1,m≠k>(σ^<2α-1>(|m-k|)p(m))/(m^s)がそのDirichlet級数で、一方I_k(s;α,f)をスペクトル表示することによりD_k(s;α,f)のIm(s)→∞における評価を得た。またこれを応用して加法的約数問題のアナロジー、Σ__<m【less than or equal】x,m≠k>{σ^<2α-1>(m+k)+ε_fσ^<2α-1>(|m-k|)}p(m)=O(x^<2Reα+ηo+∈-1/(2Reα+3/2)>)が成り立つことを示した。次にD_k(s;α,f)を用いる事により、Z_<n,m>(s)をKloostermanゼータ関数、ω(x)を適当なtest関数として時Σ^∞_<n=1>p(n)Z_<n,m>(s)ω(n)をI_k(s;α,f)の積分で表すことができた。今後の問題として、ω(x)を特殊化することにより、Z_<n,m>(s)の評価が得られないかどうかを考えたいと思っている。

The number problem of addition is the number of numbers d (n), Σ _ & lt;n [less than or equal] xalgegt _ d (n) d (n) d (n

项目成果

Yoshio Tanigawa: "On certain Dirichlet series obtained by the product of Eisenstein series and a cusp form" Proc.Japan Academy. 71. 27-29 (1995)

Yoshio Tanikawa：“论由爱森斯坦级数和尖点形式的乘积获得的某些狄利克雷级数”Proc.Japan Academy。

Yoshyuki Kitaoka: "Finite arithmetic subgroups of GLn,III" Proc.Indian Acad. Sci.104. 201-206 (1994)

Yoshyuki Kitaoka：“GLn,III 的有限算术子群”Proc.Indian Acad。

Yoshiyuki Kitaoka: "The minimum and the primitive representation of positive definite guadratic forms" Nagoya Math.Jouvnal. 133. 127-153 (1994)

Yoshiyuki Kitaoka：“正定瓜德拉形式的最小和原始表示”Nagoya Math.Jouvnal。