保型関数のスペクトル理論とその整数論への応用

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加法的約数問題ではしばしば約数関数d(n)に対して、Σ_<n【less than or equal】x>d(n)d(n+k)のxに関する評価が問題になる。Vinogradov-Takhtadzhyanはこの問題に保型関数のスペクトル理論からアプローチするために、積分∫_<Γ＼H>1^*(z,1/2)|^2P_k(z,s)dμ(z)( ここで、E^*(z,α)はEisenstein級数、P_k(z,s)はPoincare級数)を考えた。即ちこの積分をL_2(Γ＼H)に作用するラプラシアンの固有関数でスペクトル分解し、主要項としてのゼータ関数ζ_k(s)=Σ^∞_<n=1>d(n)d(n+k)n^<-S>の評価を求めている。我々はそのアナロジーとして、Eisenstein級数とMaass form f(z)の積の積分I_k(s;α,f)=∫_<Γ∞＼H>E^*(z,α)f(z)y^Se^<2πikx>dμ(z) を考え、その主要項としてのDirichlet級数がどのようなものかを出した。D_k(s;α,f)=Σ^^∞__<m=1>(σ^<2α-1>(m+k)p(m))/(m^8)+ε_fΣ^^∞__<m=1,m≠k>(σ^<2α-1>(|m-k|)p(m))/(m^s)がそのDirichlet級数で、一方I_k(s;α,f)をスペクトル表示することによりD_k(s;α,f)のIm(s)→∞における評価を得た。またこれを応用して加法的約数問題のアナロジー、Σ__<m【less than or equal】x,m≠k>{σ^<2α-1>(m+k)+ε_fσ^<2α-1>(|m-k|)}p(m)=O(x^<2Reα+ηo+∈-1/(2Reα+3/2)>)が成り立つことを示した。次にD_k(s;α,f)を用いる事により、Z_<n,m>(s)をKloostermanゼータ関数、ω(x)を適当なtest関数として時Σ^∞_<n=1>p(n)Z_<n,m>(s)ω(n)をI_k(s;α,f)の積分で表すことができた。今後の問題として、ω(x)を特殊化することにより、Z_<n,m>(s)の評価が得られないかどうかを考えたいと思っている。