有限体上のドリンフェルト・モジュラー多様体の幾何学的背景

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(1) Dinesh S.Thakur は 1995 年にカーリッツ指数関数を一般化し，タクール超幾何関数（カーリッツ指数型超幾何関数）を定義した．われわれはこの定義をヒントに 2022 年にドリンフェルト指数型超幾何関数とドリンフェルト対数型超幾何関数をそれぞれ定義した（これらの関数は r = 1 のときそれぞれカーリッツ指数型超幾何関数とカーリッツ対数型超幾何関数である）．R.Harada はカーリッツ指数型超幾何関数をモチーフ化した（つまり，t = theta とすると，カーリッツ指数型超幾何関数になるもの）．Harada はカーリッツ指数型超幾何関数の特殊値の周期解釈（period interpretation）を与えた．われわれはこの仕事をヒントにカーリッツ対数型超幾何関数をモチーフ化し，カーリッツ対数型超幾何関数の特殊値の周期解釈を与えた．この結果は 2008 年の Matthew A.Papanikolas の定理の一般化で，カーリッツ対数型超幾何関数が由緒正しいものであることを主張している．指数型の場合とは異なり，対数型についてはモチーフ化は単純にはできず，アイデアが必要であった．具体的には，カーリッツ対数型超幾何関数の係数の符号を反転させる必要があった．この調整によって超幾何微分方程式を放棄することになるので，なかなか気がつかなかった．(2) カーリッツ対数型超幾何関数の特殊値が「超越数」であるための必要十分条件を与えた．超越関数論では特殊値が超越数であることは試金石で，この結果はカーリッツ対数型超幾何関数がやはり由緒正しいものであることを主張している．証明にはモチーフ理論や周期解釈を用いた．これは Harada の結果をヒントにした．Harada はタクール超幾何関数の特殊値が超越数であるための必要十分条件を与えた．