代数的言語理論と類体論の融合研究

代表者のこれまでの研究で虚二次体K上の代数的Witt vectorが，Fricke関数族(上半平面上のモジュラー関数族)の特殊値から自然に構成されるmodular vectorによってK上生成されることを示していた(modularity theorem)．本研究課題の本年度の取り組みでは，その結果の自然な続編として，特に以下二つの結果を成果として挙げる事ができる．第一に，石塚裕大氏（九州大学），木村巌氏（富山大学）との共同研究(2021年度のIMI共同利用研究の後続研究)において，任意の類数の虚二次体上の代数的Witt vectorがいつintegralになるかの決定可能性を証明し，その判定アルゴリズムを与えた．類数１の場合は，石塚氏との共著論文として既にSCSS2021で提出していたが，その後，任意類数に拡張した．第二に，研究集会に呼んでいただいたことをきっかけとして，しばらく前に観察していたCM体へのmodularity theoremのある種の拡張の結果をまとめる機会を得て，証明等を整理した．技術的には楕円曲線をアーベル多様体に置き換えmodular vectorの類似をCM体に対しても構成し，どの代数的Witt vectorがmodular vectorから生成されるかを（ガロア対応を通して）特徴付けている．この観察の結果として，より一般の志村多様体上のモジュラー関数の場合への拡張や，非可換化に向けた方向性がより詳しく見えてきた．CM体の場合は，より一般の場合に向けた中間報告のようなものとして論文にまとめることを予定している．

代表者のこれまでの研究で虚二次体K上の代数的Witt vectorが，Fricke関数族(上半平面上のモジュラー関数族)の特殊値から自然に構成されるmodular vectorによってK上生成されることを示していた(modularity theorem)．本研究課題の本年度の取り組みでは，その結果の自然な続編として，特に以下二つの結果を成果として挙げる事ができる．第一に，石塚裕大氏（九州大学），木村巌氏（富山大学）との共同研究(2021年度のIMI共同利用研究の後続研究)において，任意の類数の虚二次体上の代数的Witt vectorがいつintegralになるかの決定可能性を証明し，その判定アルゴリズムを与えた．類数１の場合は，石塚氏との共著論文として既にSCSS2021で提出していたが，その後，任意類数に拡張した．第二に，研究集会に呼んでいただいたことをきっかけとして，しばらく前に観察していたCM体へのmodularity theoremのある種の拡張の結果をまとめる機会を得て，証明等を整理した．技術的には楕円曲線をアーベル多様体に置き換えmodular vectorの類似をCM体に対しても構成し，どの代数的Witt vectorがmodular vectorから生成されるかを（ガロア対応を通して）特徴付けている．この観察の結果として，より一般の志村多様体上のモジュラー関数の場合への拡張や，非可換化に向けた方向性がより詳しく見えてきた．CM体の場合は，より一般の場合に向けた中間報告のようなものとして論文にまとめることを予定している．