外微分式系による一般化されたモンジュアンペール方程式の研究とその応用

微分幾何学における微分式系、外微分式系の理論を用いて、微分方程式の幾何学的研究を行った。外微分式系(多様体上の微分形式全体の成す代数内で外微分による作用で閉じたイデアル)の理論は多様体上の接空間の部分空間(微分式系)の研究に端を発する理論であり、微分方程式、特に非線形偏微分方程式を統一的に扱う理論として優れている。この理論を数学的のみならず応用上も重要であるモンジュアンペール方程式、また、研究代表者らによって導入された一般化されたモンジュアンペール方程式(古典的な2階2独立変数1未知関数のモンジュアンペール方程式の外微分式系を用いた定式化に対して、接触変換の視点から幾何学的に高階化、多未知関数化、連立化された偏微分方程式のクラス)に応用する研究を行った。特に、1つの任意関数αを含むある種の斉次系である一般化されたモンジュアンペール方程式のクラス(α方程式)に対する研究を行った。非自明な特性系を持つα方程式はジェネリック型とnon-ジェネリック型に分類され、ジェネリック型に対しては特性系による商空間上に関数αが落ちることが知られていたが、non-ジェネリック型に対しても関数αは同様の性質を持つことを明らかにした。すなわち、関数αは型に依らずにα方程式特有の性質を持つことが分かった。これにより、例の構成に対する新たな知見が得られたことになる。

微分幾何学における微分式系、外微分式系の理論を用いて、微分方程式の幾何学的研究を行った。外微分式系(多様体上の微分形式全体の成す代数内で外微分による作用で閉じたイデアル)の理論は多様体上の接空間の部分空間(微分式系)の研究に端を発する理論であり、微分方程式、特に非線形偏微分方程式を統一的に扱う理論として優れている。この理論を数学的のみならず応用上も重要であるモンジュアンペール方程式、また、研究代表者らによって導入された一般化されたモンジュアンペール方程式(古典的な2階2独立変数1未知関数のモンジュアンペール方程式の外微分式系を用いた定式化に対して、接触変換の視点から幾何学的に高階化、多未知関数化、連立化された偏微分方程式のクラス)に応用する研究を行った。特に、1つの任意関数αを含むある種の斉次系である一般化されたモンジュアンペール方程式のクラス(α方程式)に対する研究を行った。非自明な特性系を持つα方程式はジェネリック型とnon-ジェネリック型に分類され、ジェネリック型に対しては特性系による商空間上に関数αが落ちることが知られていたが、non-ジェネリック型に対しても関数αは同様の性質を持つことを明らかにした。すなわち、関数αは型に依らずにα方程式特有の性質を持つことが分かった。これにより、例の構成に対する新たな知見が得られたことになる。