Gabor解析における諸問題の解決

今年度は「様々な関数空間における作用関数の特徴づけ」すなわち「ある種の滑らかさを持つ関数の集まり（関数空間とよぶ）をその性質を変えることなく、再び同じ滑らかさを持つ関数の集まりに移すような関数または変換（作用関数とよぶ）は何か？」について研究した。作用関数の特徴づけは非線形偏微分方程式の研究において重要な役割を果たすことが知られている。これまで、研究代表者は佐藤圓治名誉教授（山形大学）との共同研究において「モジュレーション空間 M^{p,1}における作用関数の特徴づけ」、「トーラス上の関数でそのフーリエ係数が重み付き数列空間 l^s_q に属するような関数の集まり A^q_s(T) における作用関数の特徴づけ」および「フーリエ・ルベーグ空間における作用関数の特徴づけ」を行ってきたが、これまで得られた研究成果を基に今年度は「モジュレーション空間における作用関数の特徴づけ」について更に研究を行った。ここで、モジュレーション空間 M^{p,q}_s とは、短時間フーリエ変換がある種の可積分性と減衰度をもつようなユークリッド空間上の関数の集まりであり、ｐ＝ｑ＝２ の場合はよく知られるソボレフ空間 H^s と一致する関数空間の一つである。モジュレーション空間の作用関数の特徴づけについては、 Reich - Sickel（2016）や Kato - Sugimoto - Tomita（2020）で様々な十分条件が研究されているが、まだ完全に解決していない。今年度はモジュレーション空間 M^{p,q}_sにおける作用関数の特徴づけについて考察した。結果として、モジュレーション空間上の作用関数の特徴づけにおいて重要な役割を果たすと思われる必要条件と十分条件を見つけた(佐藤名誉教授との共同研究)。

今年度は「様々な関数空間における作用関数の特徴づけ」すなわち「ある種の滑らかさを持つ関数の集まり（関数空間とよぶ）をその性質を変えることなく、再び同じ滑らかさを持つ関数の集まりに移すような関数または変換（作用関数とよぶ）は何か？」について研究した。作用関数の特徴づけは非線形偏微分方程式の研究において重要な役割を果たすことが知られている。これまで、研究代表者は佐藤圓治名誉教授（山形大学）との共同研究において「モジュレーション空間 M^{p,1}における作用関数の特徴づけ」、「トーラス上の関数でそのフーリエ係数が重み付き数列空間 l^s_q に属するような関数の集まり A^q_s(T) における作用関数の特徴づけ」および「フーリエ・ルベーグ空間における作用関数の特徴づけ」を行ってきたが、これまで得られた研究成果を基に今年度は「モジュレーション空間における作用関数の特徴づけ」について更に研究を行った。ここで、モジュレーション空間 M^{p,q}_s とは、短時間フーリエ変換がある種の可積分性と減衰度をもつようなユークリッド空間上の関数の集まりであり、ｐ＝ｑ＝２ の場合はよく知られるソボレフ空間 H^s と一致する関数空間の一つである。モジュレーション空間の作用関数の特徴づけについては、 Reich - Sickel（2016）や Kato - Sugimoto - Tomita（2020）で様々な十分条件が研究されているが、まだ完全に解決していない。今年度はモジュレーション空間 M^{p,q}_sにおける作用関数の特徴づけについて考察した。結果として、モジュレーション空間上の作用関数の特徴づけにおいて重要な役割を果たすと思われる必要条件と十分条件を見つけた(佐藤名誉教授との共同研究)。