Research of the topology of spatial graphs and their intrinsic properties

１．nを7以上の整数とするとき，n頂点完全グラフの任意の空間グラフにおいて，それに含まれる Hamilton 結び目の Casson 不変量(Conway 多項式の2次の係数)の総和をmとおくと，mはnが8を法として0または7と合同であるとき，(n-5)! を法として (n-5)!/2 と合同であり，一方，nが8を法として0とも7とも合同でないとき，(n-5)! を法として0と合同である(森下-新國)．特に n=7 のときは Conway-Gordon の定理にほかならない．逆に整数mが上記の合同条件をみたせば，含まれる Hamilton 結び目の Casson 不変量の総和がmとなる空間n頂点完全グラフが存在することを示した．従って上記の合同条件はこれ以上細かくならず最良のものであることがわかった．この事実は2020年に1度非公式にアナウンスしたが，改めて議論を精査し証明を簡略化して，プレプリントにまとめ arXiv:math.GT/2211.00408 で公開した．２．絡み目内在性を特徴付けることで知られる Petersen 族と呼ばれる7つのグラフのうち，6頂点完全グラフ K_6 の線形空間グラフ内の結び目・絡み目の型と位置，個数は Hughes，Huh-Jeon により完全に決定されている．一方，7頂点のグラフについては，P_7 の線形空間グラフ内の絡み目の型と個数のみが有向マトロイドと計算機の援用によって求められている(Naimi-Pavelescu)．今回，瀨川理奈氏との共同研究により，Petersen 族の7頂点のグラフ P_7，Q_7 の線形空間グラフについて，ある特定の状況設定の下で，結び目・絡み目の不変量を用いた位相的な方法により，含まれる結び目・絡み目の型と位置，個数を決定した．

１．nを7以上の整数とするとき，n頂点完全グラフの任意の空間グラフにおいて，それに含まれる Hamilton 結び目の Casson 不変量(Conway 多項式の2次の係数)の総和をmとおくと，mはnが8を法として0または7と合同であるとき，(n-5)! を法として (n-5)!/2 と合同であり，一方，nが8を法として0とも7とも合同でないとき，(n-5)! を法として0と合同である(森下-新國)．特に n=7 のときは Conway-Gordon の定理にほかならない．逆に整数mが上記の合同条件をみたせば，含まれる Hamilton 結び目の Casson 不変量の総和がmとなる空間n頂点完全グラフが存在することを示した．従って上記の合同条件はこれ以上細かくならず最良のものであることがわかった．この事実は2020年に1度非公式にアナウンスしたが，改めて議論を精査し証明を簡略化して，プレプリントにまとめ arXiv:math.GT/2211.00408 で公開した．２．絡み目内在性を特徴付けることで知られる Petersen 族と呼ばれる7つのグラフのうち，6頂点完全グラフ K_6 の線形空間グラフ内の結び目・絡み目の型と位置，個数は Hughes，Huh-Jeon により完全に決定されている．一方，7頂点のグラフについては，P_7 の線形空間グラフ内の絡み目の型と個数のみが有向マトロイドと計算機の援用によって求められている(Naimi-Pavelescu)．今回，瀨川理奈氏との共同研究により，Petersen 族の7頂点のグラフ P_7，Q_7 の線形空間グラフについて，ある特定の状況設定の下で，結び目・絡み目の不変量を用いた位相的な方法により，含まれる結び目・絡み目の型と位置，個数を決定した．